categoría de flechas y categoría de funtores

Question

Dejemos que A sea una categoría abeliana y D la categoría que tiene dos objetos y un solo morfismo de no identidad entre ellos.

La categoría de funtores A $^D$ también es abeliana y se denomina categoría de flechas con objetos morfismos en A y los morfismos cuadrados conmutativos.

No veo la equivalencia entre la categoría de funtores y la categoría de flechas. Entiendo la categoría de flechas, pero ¿cómo es equivalente a la categoría de funtores? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $0$ y $1$ denotan los objetos de $D$ y escribir $a:0\rightarrow 1$ para la única flecha no identitaria de $D$ . A todo functor $F:D\to A$ asociar el morfismo $F(a):F(0)\to F(1)$ en $A$ . A la inversa, a todo morfismo $f:X\to Y$ en $A$ asociar el functor $\hat f:D\to A$ dado por $\hat f(0)=X$ , $\hat f(1)=Y$ y $\hat f(a)=f$ . ¿Puede continuar desde aquí?

Answer 2

Esto es válido en general para cualquier categoría. Sea $I = \{ X \xrightarrow{f} Y \}$ sea la categoría de intervalo (que se llama $D$ ). Los objetos de $\mathscr C^I$ son funtores $F : I \to \mathscr C$ , es decir, las asignaciones $F(X) \in \mathscr C$ , $F(Y) \in \mathscr C$ y morfismos $F(f) : I(X) \to I(Y)$ que son las mismas que las flechas en $\mathscr C$ . Los morfismos de $\mathscr C^I$ son transformaciones naturales $\eta$ la condición de naturalidad en este caso equivale a la siguiente conmutación cuadrada (para $F, G : I \to \mathscr C$ ).

Tenga en cuenta que, como $F(f)$ y $G(f)$ son flechas arbitrarias en $\mathscr C$ Esto equivale simplemente a dos flechas $\eta_X$ y $\eta_Y$ en $\mathscr C$ tal que el cuadrado conmuta. Es decir, los datos de $\mathscr C^I$ es exactamente lo mismo que $\mathrm{Arr}(\mathscr C)$ .