Vectores propios y funciones propias de Sturm-Louville

Question

Tengo el siguiente problema

$\frac{d^2y}{dx^2} + \lambda y = 0 , y'(0)=0$ y $y(3)=0$

Estoy tratando de resolver los valores propios $\lambda_n$ para $n=1,2,3...$ y las funciones propias $y_n$ o $n=1,2,3...$

Estoy considerando todos los casos para los valores de $\lambda$ :

$\lambda = 0$ : $y= Ax+B$ y $y' = A$ - aplicando las condiciones se obtiene $A=0=B$

Ahora me quedo atascado en los casos de $\lambda < 0$ y $\lambda > 0$ .

He intentado un enfoque similar al $\lambda = 0$ caso estableciendo $\lambda = p^2 >0$ por ejemplo, pero no sé a dónde ir desde aquí

Cualquier ayuda u orientación será en gran medida Se agradece.

editar: mi último intento

Answer 1

La solución general de esta ecuación es $$y(x) = A \sin \sqrt{\lambda} x+ B \cos \sqrt{\lambda} x ....(1)$$ Entonces $$y'(x)=A \sqrt{\lambda} \cos {x\sqrt{\lambda}} - B \sin \sqrt{ \lambda} \sin{x\sqrt{\lambda}}.....(2)$$ Desde $y'(0)=0$ , $A=0$ . Así que $$ y(x) = B \cos (x \sqrt{\lambda})....(3)$$ La condición de que $y(3)=0$ da $$ 3 \sqrt{\lambda} = (n+1/2)\pi, n=0,1,2,3...(4)$$ Así que los valores propios son $$\lambda_n=(n+1/2)^2 ~\frac{\pi^2}{9},~~ n=0,1,2,3...$$ Utilizando (4), las correspondientes funciones propias se obtienen reescribiendo (3) como $$ y_n(x)=B \cos\left((n+1/2)\frac{\pi x}{3}\right), n=0,1,2,3,...$$

Nota que los valores propios $\lambda_n$ surgen sólo cuando la solución $y(x)$ satisface las condiciones dadas en $x=0$ y $x=3$ . $\lambda_n$ se convierte en una función de $n$ Entonces, sólo $\lambda_n$ son los valores (propios) permitidos de $\lambda$ . No se puede prefijar un valor para $\lambda$ . Entonces $y(x)$ no cumplen las condiciones dadas. Por ejemplo, en su problema $\lambda$ no puede llegar a ser cero. El menor valor posible de $\lambda$ es $\lambda_0=\pi^2/36$ .

Answer 2

Cualquier solución no trivial puede ser normalizada para satisfacer $y'(0)=0,y(0)=1$ porque $y'(0)=y(0)=0$ y $y''+\lambda y=0$ obligaría a $y=0$ por la unicidad de las soluciones de dichos problemas. La solución única de este problema modificado es $$ y_{\lambda}(x)=\cos(\sqrt{\lambda}x) $$ La ecuación de los valores propios proviene de la imposición de la segunda condición del punto final: $$ \cos(3\sqrt{\lambda})=0. $$ Negativo $\lambda$ girar el $\cos$ a $\cosh$ y no hay soluciones. Las soluciones de valores propios son $3\sqrt{\lambda}=(n+1/2)\pi$ para $n=0,1,2,3,\cdots$ . Los valores propios son $$ \lambda_n = (n+1/2)^2\pi^2/9,\;\;\; n=0,1,2,\cdots $$ Las funciones propias correspondientes son $y_n(x)=\cos((n+1/2)\pi x/3)$ .