Estoy cursando análisis real de grado. Estoy tratando de llegar a una fórmula general para la serie \begin{equation} 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+... \end{equation} y no puedo entender cómo conseguir que el término negativo sólo aparezca con potencias de $3$ . O hay otra manera de probar la serie. cualquier ayuda sería apreciada.
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Las sumas parciales de esta serie pueden ser acotadas a continuación por sumas parciales de la serie $$1+\frac14+\frac17+\frac1{10}+\cdots$$ que a su vez puede ser acotada por debajo por las sumas parciales de la serie $$\frac13+\frac16+\frac19+\frac1{12}+\cdots=\frac13\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots\right).$$
Esta última serie es un múltiplo constante de la serie armónica, por lo que diverge.
Hazem Orabi
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$$ \begin{align} &\quad\, \sum_{n=0}^{\infty}\left[+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\color{red}{-}\frac{1}{3n+3}\right] \\[2mm] &= \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\color{red}{-}\frac{2}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}\right] \\[2mm] &= \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}\color{red}{-}\frac{2}{3n+3}\right]+\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3n+3}\right] \\[2mm] &= \log{3}+\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \color{red}{\,\,\rightarrow\,\,\infty} \\[2mm] \end{align} $$
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Si $F_n$ es el $n$ número de Fibonacci con la convención $F_0=0$ y $F_1=1$ entonces el $n$ El término aquí es $\dfrac{(-1)^{F_n+1}}{n}$ .