¿Cómo se transforman las columnas en $n×n$ ¿afecta a la matriz inversa final?

Question

$\mathbb{A}$ es $n × n$ matriz invertible, y $\mathbb{A}^{-1}$ es su inversa. $\mathbb{B}$ es una matriz que obtuvimos aplicando varias transformaciones de fila en $\mathbb{A}$ . $\space \mathbb{B}^{-1}$ es la matriz inversa de $\mathbb{B}. \space $ ¿Cómo podemos demostrar que $\space \mathbb{B}^{-1}$ puede obtenerse de $\mathbb{A}^{-1}$ por unas determinadas transformaciones de la columna y cómo podemos describir estas transformaciones?

Creo entender que para conseguir $\mathbb{B}^{-1}$ de $\mathbb{A}^{-1}$ cuando multiplicamos una fila de $\mathbb{A}$ significa que tenemos que dividir la columna respectiva de $\mathbb{A}^{-1}$ . Y también que cambiar dos filas de $\mathbb{A}$ realmente no debería cambiar la inversa de ninguno de ellos. Pero realmente no entiendo por qué, y tampoco entiendo qué significa añadir un múltiplo a una fila de otra fila de $\mathbb{A}$ lo haría.

Answer 1

Aplicando una secuencia de $k$ operaciones de fila a $A$ es lo mismo que calcular el producto $$ B = E_k \cdots E_2 E_1 A, $$ donde $E_j$ es el matriz elemental correspondiente al $j$ de la fila. Por otro lado, encontramos que $$ B^{-1} = (E_k \cdots E_2 E_1 A)^{-1} = AE_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_{k}^{-1}. $$ Este producto corresponde a la toma de $B$ y aplicando la operación de columna asociada a $E_1^{-1},$ entonces la operación de columna asociada a $E_2^{-1}$ y así sucesivamente.