¿Es la secuencia $a_{n} = \frac {1}{2^2} + \frac{2}{3^2} + .... +\frac{n}{(n+1)^2}$ Cauchy?

Question

Primero:

Intenté sustituir números naturales por $n$ para calcular los términos consecutivos de la secuencia y luego ver la diferencia entre sus valores y descubrí que la diferencia disminuye para valores grandes de $n$ (no muy grandes porque estoy calculando a mano) así que concluí que es una secuencia de Cauchy, pero desafortunadamente cuando vi la pista para resolver este problema encontré lo siguiente: "Probar que $a_{2n} - a_{n} \geq n * \frac{2n}{(2n +1)^2} \geq \frac{2}{9}$", así que concluí que no es Cauchy. ¿Alguien me puede decir por favor por qué a veces probar con números lleva a valores erróneos y cuándo es preferible utilizar esta prueba?

Segundo:

Si $a_{n} = \frac {1}{2^2} + \frac{2}{3^2} + .... +\frac{n}{(n+1)^2}$, ¿Es $a_{2n} = \frac {1}{2^2} + \frac{2}{3^2} + .... +\frac{2n}{(2n+1)^2}$? porque estoy confundido sobre qué es igual.

Espero que mi pregunta cumpla con los requisitos de una buena pregunta, si no es así, por favor házmelo saber.

Answer 1

Una sucesión de Cauchy requiere que $|a_m-a_n| \to 0$ cuando $n$ y $m$ ambos $\to \infty$. Entonces la observación de que para $m=2n$ no se acerca a 0 muestra que la sucesión no es de Cauchy.

Answer 2

Nota que

$$ (n + 1)^2 \le 4n^2 \iff n + 1 \le 2n \iff n \ge 1 $$

entonces $$ a_n = \sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k} {(k + 1) ^ 2} \ge \sum_ {k = 1} ^ n \ frac {k} {4k ^ 2} = \ frac {1} {4} \sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} $$

Por lo tanto, $(a_n)_n$ es no acotada, por lo que no puede ser de Cauchy.

Answer 3

"Intenté sustituir números naturales por n para calcular los términos consecutivos de la secuencia y ...encontré que la diferencia está disminuyendo"

No importa si la diferencia entre los términos consecutivos se hace más pequeña (y converge a cero). Los términos $a_n$ y $a_{n+1}$ pueden acercarse minúsculamente pero en todos los términos más adelante $a_{10^{\text{500 cien cuatrillones zillones oogleplex}}}$ pueden ser aún enormes.

Lo que importa es que cuando $N$ se hace grande, entonces la diferencia entre cualquier dos términos (no solo términos consecutivos). Para ser Cauchy, $a_n$ y $a_{10^{\text{500 cien cuatrillones zillones oogleplex}}}$ deben estar cerca si $n, 10^{\text{500 cien cuatrillones zillones oogleplex}}$ son ambos mayores que $N$.

Así que no importa si $a_{n+1} - a_n = \frac {n+1}{(n+2)^2} \to 0$. Necesitamos que $a_m - a_n = \frac {n+1}{(n+2)^2} + \frac {n+2}{(n+3)^2}+ \frac {n+3}{(n+4)^2}+ ....... + \frac {m}{(m+1)^2}\to 0$ a medida que $n\to \infty$. Dado que $a_m - a_n = \frac {n+1}{(n+2)^2} + \frac {n+2}{(n+3)^2}+ \frac {n+3}{(n+4)^2}+ ....... + \frac {m}{(m+1)^2}$ puede tener muchos, muchos, muchos términos, esto es una gran exigencia.

Y no es verdadero.

$a_{2n} - a_n = \frac {n+1}{(n+2)^2} + \frac {n+2}{(n+3)^2} + ..... + \frac {2n}{(2n+1)^2} >$

$\frac {2n}{(2n+1)}^2 +\frac {2n}{(2n+1)}^2+.... + \frac {2n}{(2n+1)}^2 =$

$n*\frac {2n}{(2n+1)}^2 = \frac {2n^2}{4n^2 + 4n + 1} >$

$\frac {2n^2}{4n^2 + 4n^2 + n^2} =\frac {2n^2}{9n^2}= \frac 29$.

Esto significa que siempre se podrá encontrar dos términos que están al menos a $\frac 29$ de distancia. No importa cuán grande tomemos $N$, siempre podemos encontrar $n > N$ y $2n > N$ para que $a_{2n} - a_n > \frac 29$. Así que no es verdad que la diferencia de cualquier dos términos tienda a $0$.

Entonces la secuencia no es Cauchy.