Velocidad de enfriamiento con temperatura inicial desconocida

Question

Un objeto con $T_0 = x$ está en una habitación con una temperatura fija de 30 grados centígrados. Después de diez minutos la temperatura de los objetos es negativa $10$ celsius y después de 10 minutos más es negativo $5$ celsius ¿Cuál fue la $T_0$ ? Este es un problema de la ley de Newton de enfriamiento.

Supongo que como no hay k dado que la velocidad de enfriamiento es constante y se calienta cinco grados cada 10 minutos a $T_0 = -15$

Answer 1

Aquí tienes una hoja de ruta para que sigas la solución del problema.

La ley de Newton sobre el enfriamiento establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del entorno. Suponiendo una habitación muy grande, tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{dT}{dt}=k(T-30)$$

Ahora, quieres separar las variables e integrarlas. Esto da:

$$\frac{dT}{T-30}=kdt\quad\Longrightarrow\quad\ln(T-30)=kt+C\quad\Longrightarrow\quad T(t)=Ae^{kt}+30$$

donde $A=e^C$ . Ahora, introduce los dos pares ordenados que conoces, $(10,-10)$ y $(20,-5)$ para obtener un sistema de dos ecuaciones en las dos variables $A$ y $k$ .

$$-10=Ae^{10k}+30\quad\Longrightarrow\quad-40=Ae^{10k}\\-5=Ae^{20k}+30\quad\Longrightarrow\quad-35=Ae^{20k}$$

Resuelve este sistema para encontrar los valores de tus constantes. Para encontrar $k$ , divide las dos ecuaciones:

$$\frac{35}{40}=e^{10k}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{10}\ln\left(\frac{7}{8}\right)$$

Utilice esto para encontrar $A$ . Enchufe $A$ y $k$ de nuevo en $T(t)$ . Entonces, sólo hay que enchufar $t=0$ para encontrar la temperatura inicial.