Demostrar que varias relaciones son órdenes parciales

Question

Me dan estas relaciones, en las que tengo que demostrar o refutar todas y cada una de ellas.

a. La relación $\trianglelefteq$ denado por un $\trianglelefteq$ b si a b²

b. La relación $\preceq$ dened on by m $\preceq$ n si m n + 5.

c. La relación $\ll$ en el conjunto de funciones continuas denotadas por f(x) $\ll$ g(x) si $\int^1_0f(x)dx \leqslant \int^1_0g(x)dx$

Así que, por a, tengo lo siguiente: Para demostrar la reflexividad, se deduce que a $\leqslant$ a², y por lo tanto, a $\trianglelefteq$ a, así que $\trianglelefteq$ es reflexivo. Para la transitividad, para todo a, b y c en , si a b², y b c², entonces a c², y por lo tanto la relación es transitiva.

Para b, tengo que para la reflexividad, m m+5, por lo que la relación es reflexiva. Para la transitividad, para todo m,n, y p en , si m n + 5, y n p + 5, entonces m p + 5, por lo que la relación es transitiva.

Por c, escribí por reflexividad que desde $\int^1_0f(x)dx \leqslant \int^1_0f(x)dx$ entonces la relación es reflexiva. Para la transitividad, si $\int^1_0f(x)dx \leqslant \int^1_0g(x)dx$ y $\int^1_0g(x)dx \leqslant \int^1_0h(x)dx$ entonces $\int^1_0f(x)dx \leqslant \int^1_0h(x)dx$ Por lo tanto, la relación es transitiva.

Como puedes ver, he dejado fuera la antisimetría, porque no estoy seguro de cómo demostrarla. Creo que mis pruebas reflexivas y transitivas son correctas, pero si alguien puede ayudarme con estos problemas ayudándome con las pruebas de antisimetría y verificando/corrigiendo mis pruebas reflexivas y transitivas, sería genial.

Answer 1

Es aconsejable trabajar con cuidado y hacer un buen esfuerzo para encontrar contraejemplos en problemas como estos.

Desde $a \leq b^2$ y $b \leq c^2,$ ciertamente se puede concluir que $b^2 \leq c^4$ y por lo tanto $a \leq c^4,$ pero eso no era lo que necesitabas mostrar.

Considere $a=200,\ b=20,\ c=5.$ Observe que $$a = 200 \leq 20^2 = b^2,$$ $$b = 20 \leq 5^2 = c^2,$$ pero $$a = 200 > 5^2 = c^2.$$ Así que $a \trianglelefteq b$ y $b \trianglelefteq c$ pero $a \not\trianglelefteq c.$ Para perfeccionar su habilidad en la resolución de estos problemas, podría ser útil intentar encontrar otro contraejemplo con un valor tan pequeño de $a$ como sea posible.

Por antisimetría, supongamos que $a \trianglelefteq b$ y $b \trianglelefteq a,$ entonces demuestre (si puede) que $a = b.$ Alternativamente, refutar antisimetría encontrando valores particulares de $a$ y $b$ con $a \trianglelefteq b,$ $b \trianglelefteq a,$ y $a \neq b.$

De nuevo, si tienes dificultades para demostrar la antisimetría, intenta refutarla. A veces los problemas con los que se encuentra una prueba sugieren contraejemplos, a veces es más fácil simplemente adivinar un contraejemplo. Por ejemplo, intenta $a=3,\ b=4$ y ver lo que el $\trianglelefteq$ dice sobre estos valores.

La relación $\preceq$ puede abordarse de forma muy parecida a $\trianglelefteq.$ Debería ser fácil encontrar contraejemplos, si es que se busca.

El ejemplo (c) es en realidad transitivo, por lo que hay que fijarse bien en la antisimetría en ese caso. Por ejemplo, considere $f(x) = x.$ Entonces $\int_0^1 f(x)dx = \frac 12.$ ¿Hay cualquier otro funciones cuyas integrales sobre el mismo intervalo también son iguales a $\frac 12$ ?

Answer 2

La primera prueba no es correcta. $a\leq b^2$ y $b \leq c^2$ no implica $a \leq c^2$ . Considere $a=15, b=4, c=3$ .

La segunda prueba también es incorrecta porque de nuevo falla la transitividad. Consideremos $m=10,n=5,p=0$ .

Tu problema es que afirmas, por ejemplo, que "si m ≤ n + 5, y n ≤ p + 5, entonces m ≤ p + 5" pero no das ninguna justificación. Y la afirmación es simplemente falsa. Si se trabaja con más cuidado, se haría algo así:

Si $m \leq n+5$ y $n \leq p+5$ , entonces sustituyendo $p+5$ para $n$ en la primera desigualdad, vemos $m \leq (p+5)+5 = p + 10$ .

Entonces te darías cuenta de que esta afirmación no es lo suficientemente fuerte, y entonces empezarías a buscar un contraejemplo.

La última prueba es correcta, pero todavía se necesita antisimetría. Para demostrar esta propiedad, hay que suponer $f \ll g$ y $g\ll f$ y luego mostrar $f = g$ . Sin embargo, ¡no es cierto! Pruebe $f(x) = 1-x$ y $g(x) = x$ . Sus integrales de $0$ a $1$ son iguales, pero las funciones no lo son.

Answer 3

Comprueba las partes de transitividad de tu prueba.

Por ejemplo, para a., tenemos $5\trianglelefteq 3$ y $3\trianglelefteq 2$ pero no $5\trianglelefteq 2$ .

Si ya encuentras que la relación dada no es reflexiva (o no transitiva), entonces has terminado ya que no puede ser de orden parcial.

Finalmente, c. es efectivamente transitiva, pero podemos tener dos diferentes funciones continuas $f,g$ en $[0,1]$ tal que $f\ll g\ll f$ . (Puede elegir uno de ellos para que sea constante $0$ .)