¿Es posible integrar la distribución normal sobre números racionales? ¿Cuál es el valor de dicha integral? ¿Es posible $\pi$ menos la integral sobre los números irracionales?
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Legiononomamoi
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La intersección de $\mathbb{Q}$ con el intervalo unitario $[0,1]$ contiene infinitas discontinuidades (la famosa función "patológica" de Dirichlet y muchas funciones similares se comportan de forma extraña/patológica aprovechando $\mathbb{Q}$ como un conjunto denso pero incompleto en todas partes). No es integrable de Riemann. Sin embargo, es integrable utilizando, por ejemplo, la integración de Lebesgue. Pero esto se hace (en parte) al darse cuenta de que el (conjunto de los singletons degenerados de los) racionales son "despreciables" o 0. Esto se puede ver construyendo una función $f(x)$ en el intervalo $[0,1]$ utilizando la función de indicador 1Q (la función indicadora de los racionales) o la función Dirchlet $f(x)=1$ si $x$ es racional y $0$ si no lo es (en cualquier intervalo, incluido el intervalo de la unidad). Tales funciones tienen una integral de $0$ .
