Espectro del operador de desplazamiento a la derecha ponderado en $\ell^{\infty}(\mathbb N)$ - verificación de la solución

Question

Estoy interesado en encontrar el espectro del siguiente operador de desplazamiento a la derecha ponderado en $\ell^{\infty}(\mathbb N)$ : $$T(a_1,a_2,a_3,...)=\left(0,\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},\frac{a_3}{3},...\right)$$ Si primero notó que $T-\lambda I$ es siempre inyectiva: $$(T-\lambda I)(a_1,a_2,a_3,...)=\left(-\lambda a_1,\frac{a_1}{1}-\lambda a_2,\frac{a_2}{2}-\lambda a_3,\frac{a_3}{3}-\lambda a_4,...\right)$$ Y este vector es igual a $0$ si y sólo si $0=a_1=a_2=a_3=\dotsb$

Para saber si es sobreyectiva, me pregunto si existe una solución al problema: $$\left(-\lambda a_1,\frac{a_1}{1}-\lambda a_2,\frac{a_2}{2}-\lambda a_3,\frac{a_3}{3}-\lambda a_4,...\right)=(b_1,b_2,b_3,b_4,...)$$ Evidentemente, para $\lambda=0$ no siempre hay una solución (así que $0$ está definitivamente en el espectro). Para $\lambda \neq 0$ Puedo intentar resolver esta ecuación por inducción y obtener la solución a través de la siguiente relación de recursión: $$a_1=-\frac{b_1}{\lambda},a_2=-\frac{b_2-a_1}{\lambda},...,a_n=-\frac{1}{\lambda}\left(b_n-\frac{a_{n-1}}{n-1}\right),...$$ Ya que hemos encontrado una solución para cualquier $(b_n)$ el operador es presumiblemente suryente. Pero el problema es que la solución puede ser posiblemente no acotada, y entonces $T$ no puede ser realmente suryectiva (ya que la solución no pertenece a nuestro espacio).

Dado que nuestra fórmula para $a_n$ anterior tiene un factor principal que se comporta como $\frac{1}{\lambda^n}$ (al menos eso parece), entonces para $|\lambda|<1$ la solución es ilimitada y para $|\lambda|>1$ está acotado. Así que el espectro incluye el disco unitario abierto (desde entonces $T$ no es suryente), y no el exterior del disco unitario cerrado. Por la compacidad del espectro, debe ser exactamente el disco unitario cerrado.

¿Le parece correcta mi solución? No estoy del todo seguro de mi trabajo. Si no me equivoco, el espectro del operador de desplazamiento a la derecha habitual es también el disco unitario cerrado, e intuitivamente esperaría que los coeficientes afectaran al espectro de alguna manera. Pero supongo que no tiene que ocurrir necesariamente.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Así que, gracias a los consejos de Ruy, he visto un problema en mi cálculo: la solución está realmente acotada para $|\lambda|<1$ también, por lo que el espectro no contiene el disco de la unidad.

Una forma más sencilla de encontrar el espectro es notar que el radio espectral es $0$ . No es muy difícil ver que $||T^n||=\frac{1}{n!}$ lo que significa que el radio espectral es $lim_{n\rightarrow \infty}(||T^n||)^{1/n}=0$ lo que significa que el espectro debe ser $0$ (ya que no es vacía y está limitada por $0$ ).