¿Puedo decir $\frac{4}{0}\neq$ ¿algo?

Question

¿Puedo decir $\frac{4}{0}\neq$ ¿algo? Por ejemplo,

$\forall x\in\mathbb{R},~\frac{4}{x}\neq0$ .

En esta declaración cuantificada, $x$ podría ser $0$ en un momento, dirigiendo la $\frac{4}{x}$ para no tener sentido. Así que en este caso, es una declaración/proposición que incluye un término sin sentido, como $\frac{4}{0}$ en $\frac{4}{x}\neq0$ una declaración legal (es decir, está bien escribirlo)?

Answer 1

El cuantificador no cambia nada, sigues haciendo una afirmación indefinida. Es tan inválido como en cualquier otro contexto.

Answer 2

La cuestión aquí es que el operador de la fracción no es realmente un operador desde un punto de vista lógico. La razón es exactamente esa, los operadores se definen en todo el $n$ -tuplas del universo -en este caso, los números reales- donde $n$ es la aridad del símbolo.

Lo que tenemos aquí es un operador parcial. Esto puede ser pensado como una relación trenaria que es funcional en sus dos primeras coordenadas. Pero esto significa que no podemos usarlo para construir términos . Entonces, ¿qué queremos decir con $\frac xy=z$ ? Tenemos nuestra relación, $R(x,y,z)$ y postulamos que $R(x,y,z)\leftrightarrow x=y\cdot z$ , entonces escribiendo $\frac xy=z$ queremos decir que $R(x,y,z)$ se mantiene. Así que al escribir $\frac xy\neq z$ queremos decir que $\lnot R(x,y,z)$ .

Así que cuando escriba $\forall x(\frac 4x\neq 0)$ es, de hecho, una afirmación verdadera, simplemente porque para todo $x$ , $\lnot R(4,0,x)$ .