Definir una acción de $\mathbb{Z}_2$ en $S^1$ por $(0,z)\mapsto z$ y $(1,z)\mapsto \bar{z}$ . Una órbita de $z$ es entonces el conjunto $\{z,\bar{z}\}$ . Reclamo el espacio de la órbita $S^1/\mathbb{Z}_2$ es homemórfico a $[-1,1]$ .
Prueba: Definir $f:S^1\to [-1,1]$ por $f(z)=\Re(z)$ . Esto es evidentemente continuo y si $z\sim z'$ entonces, por ejemplo, si $z'=\bar{z}$ tenemos $f(z)=f(\bar{z})$ . Por tanto, por la propiedad universal de los mapas cocientes, existe una función continua $\phi: S^1/\mathbb{Z}_2\to [-1,1]$ tal que $\phi \circ \pi=f$ donde $\pi$ es la proyección canónica de $S^1\to S^1/\mathbb{Z}_2$ . De hecho, nos permitimos el lujo de escribir $\phi([z])=\frac12(z+\bar{z})$ . Por un teorema bien conocido, está claro que $\phi$ es un homeomorfismo, siendo una biyección continua desde un espacio compacto $S^1/\mathbb{Z}_2$ (siendo la imagen continua, $\pi(S_1)$ ), y el espacio de Hausdorff $[-1,1]$ .
Pero si en su lugar se utiliza una acción que lleva los puntos a puntos diametralmente opuestos, es decir $(0,z)\mapsto z$ y $(1,z)\mapsto -z$ entonces se comprueba fácilmente que el espacio orbital correspondiente es homeomorfo a $S^1$ .
Mis tres preguntas son: 1) ¿son correctas las pruebas anteriores y la reflexión posterior? y 2) ¿hay alguna forma de caracterizar todos los espacios orbitales de $S^1/G$ por diversas acciones de $G=\mathbb{Z}_2$ ? y 3) ¿Por dónde querría uno empezar a estudiar topología algebraica si viene de una formación de análisis con conocimientos de teoría de grupos, álgebra lineal y topología de conjuntos de puntos básicos? (como los prerrequisitos más vitales, o los conceptos fundamentales, ¿es apropiado estudiar Homología antes que homotopía, viceversa, o de forma concurrente? etc...). Perdón si las dos últimas preguntas son demasiado amplias. Gracias.
