Si $f(A)\to A^{-1}$, demuestran que, a $f$ es continua.

Question

Deje $f \colon GL_{n}(\mathbb{R})\to GL_{n}(\mathbb{R})$ ser una función que mapea $A\mapsto A^{-1}$. Demostrar que $f$ es continua.

$GL_{n}(\mathbb{R})=\det^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{0\})$ es el conjunto de matriz invertible de orden $n\times n$ con coeficientes reales.

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• Debo hacer $A^{-1}=\dfrac{\operatorname{adj}(A)}{\det(A)}$ y utilizarlo como un polinomio racional?

• Hay un exceso manera de demostrar esto? Cualquier sugerencia?

• Gracias MSE!

Answer 1

Supongo que podemos demostrar que el mapa de GL$_n\mathbb{R} \to M_n(\mathbb{R})$ $A \mapsto A^{-1}$ es continua con respecto al operador de la norma $||\cdot ||$. Para probar esto, corregir algunos $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Siempre que $||B-A||$ es lo suficientemente pequeño, $||B^{-1}||$ es apartó desde el infinito (ver más abajo) y, a continuación, sólo se dará cuenta de que $$||A^{-1}-B^{-1}||= ||B^{-1}(B-A)A^{-1}|| \leq ||B^{-1}|| \cdot ||B-A|| \cdot ||A^{-1}|| \leq \alpha \cdot ||B-A|| $$ where $\alfa$ is a constant which depends on the maximum of $||B^{-1}||$ on the prescribed neighborhood of $$.

Si desea límites explícitos en $||B^{-1}||$, se puede utilizar la fórmula de $B^{-1} = A^{-1} \sum_0^{\infty} (A-B)^nA^{-n}$ (lo cual es cierto cuando se $||B-A||< \frac{1}{||A^{-1}||}$) con el fin de mostrar que el $||B^{-1}|| \leq \frac{||A^{-1}||}{1-||B-A||\cdot||A^{-1}||}$, por lo que el $||B^{-1}|| \leq 2||A^{-1}||$ siempre $||B-A|| < \frac{1}{2||A^{-1}||}$.

Esta prueba es una exageración. De hecho, funciona en cualquier espacio de Banach, no sólo finito dimesional -.

Answer 2

Poner $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$$G = GL_n(\mathbb{R})$. El mapa exponencial $\exp:\mathfrak{g} \to G$ es un diffeomorphism cerca de $1\in G$. Desde el diagrama de \begin{align*} \begin{array}% \mathfrak{g} & \stackrel{g\to -g}{\longrightarrow} & \mathfrak{g} \\ \downarrow{\exp} & & \downarrow{\exp} \\% G & \stackrel{g\to g^{-1}}{\longrightarrow} & G% \end{array} \end{align*} desplazamientos, se deduce que el $g\to g^{-1}$ es suave en un vecindario $U$$1$. Pero $g \to (gx)^{-1} = x^{-1}g^{-1}$ es claramente también suave en $U$ cualquier $x\in GL_n(\mathbb{R})$, por lo que el mapa de $g \to g^{-1}$ es suave en $\bigcup xU = G$.

Answer 3

Una manera fácil de ver que la inversión es continua (y, de hecho, suave) es el uso de la inversión de la matriz algoritmo elemental de fila de las operaciones que usted probablemente ha aprendido en su primer curso de álgebra lineal: Gauss-Jordan eliminación. Con este algoritmo, se obtiene $A^{-1}$ $A$ por la multiplicación de la matriz elemental de las matrices. Desde la multiplicación de la matriz es suave, y el compuesto de suave mapas es suave, entonces, en el hecho de que la inversión es suave.