Desigualdad e integración

Question

¿Es cierto lo siguiente?

Si $$\int_{0}^{x}f(t)\,dt \leq \int_{0}^{x} c \,dt =cx $$ para todos $x>0$ , $x$ es un número real, y $c$ es una constante fija,

entonces

$$f(t) \leq c$$ para todos $t>0$ ?

EDIT: Debería haber dicho que $f(t)$ es una función positiva en $t>0$ y $f(t_{1}+t_{2})\geq f(t_{1})+f(t_{2})$ para todos $t_{1},t_{2}>0$ ¡si esto ayuda!

Answer 1

Con la condición proporcionada en la sección "EDITAR", la respuesta es: sí, es cierto. Abajo está la prueba.

Desde $\int_0^x f(t)dt\leq \int_0^x cdt$ para todos $x > 0$ tenemos $\int_0^x(c - f(t))dt\geq 0$ para todos $x > 0$ . Bastará, por supuesto, con demostrar a partir de la última desigualdad (y la condición de que para todo $t_1, t_2 > 0$ , $f(t_1 + t_2)\geq f(t_1) + f(t_2)$ ) que $c - f(x)\geq 0$ para todos $x > 0$ .

Debido a la falta de más información, estoy asumiendo que estamos tratando con integrales de Riemann, y $f$ es integrable de Riemann.

Ya que para todos los $x, \epsilon > 0$ , $f(x + \epsilon) \geq f(x) + f(\epsilon)$ y $f(\epsilon) > 0$ (ya que $f$ es positivo en la semirrecta real positiva), sabemos que $f$ es no decreciente. Supongamos ahora que para algún $x_0 > 0$ , $f(x_0) > c$ . Diga $f(x_0) - c = \delta > 0$ . Entonces, para todos los $x > x_0$ Debemos tener $f(x) - c \geq \delta\implies f(x)\geq c + \delta$ . Por lo tanto, obtenemos, para cualquier $x > x_0$ ,

$$ \int_{x_0}^x f(t)dt \geq \int_{x_0}^x c + \delta dt = (c + \delta)(x - x_0). $$

Por otro lado, digamos que

$$ cx_0 - \int_0^{x_0}f(t)dt = \eta. $$

Entonces, si $x$ es suficientemente grande, tenemos, desde arriba, $(c + \delta)(x - x_0) > \eta$ . En otras palabras, para $x$ suficientemente grande, obtenemos

$$ \int_0^x f(t)dt > cx, $$

contradiciendo la hipótesis.

Obsérvese que no hay ninguna suposición adicional de continuidad de $f$ es necesario. Aunque si asumimos que $f$ es integrable de Riemann, entonces $f$ sólo tiene un número contable de discontinuidades.

El mismo argumento sirve para establecer un resultado análogo en el caso de la integrabilidad de Lebesgue.