¿Cómo resolver ecuaciones trigonométricas en 2 variables?

Question

Descubra ambos $x$ y $y$ , $$\cos(x)=-\cos(x+y)$$ Se me ocurrió esta ecuación cuando estaba averiguando los máximos y mínimos de una función de dos variables $$f(x,y)=\sin x+\sin y+\sin (x+y);$$ sin embargo obtengo una solución por aproximación de golpe y prueba, es decir $$x=y={\pi\over 3}$$ satisfará esta ecuación, pero cómo resolverlo, ya que tengo muchos otros problemas del mismo tipo y este acierto y prueba me lleva mucho tiempo.

Answer 1

Intentaría $x=a+b$ , $x+y=a-b$ . Entonces $$\begin{align}\cos x&=\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ &=-\cos(x+y)=-\cos(a-b)=-\cos a\cos b-\sin a\sin b\end{align}$$ Esto nos lleva a $2\cos a\cos b=0$ por lo que $\cos a = 0$ en cuyo caso $a=\left(n+\frac12\right)\pi$ , $y=(a-b)-(a+b)=-2b$ Así que $x=\left(n+\frac12\right)\pi-\frac12y$ o $\cos b=0$ así que $b=\left(n+\frac12\right)\pi$ , $y=-(2n+1)\pi$ y $x=a-(2n+1)\pi$ .

Resumiendo, podríamos tener $y=\text{anything}$ pero entonces $x=\left(n+\frac12\right)\pi-\frac12y$ o $x=\text{anything}$ pero $y=(2m+1)\pi$ .

EDITAR: Supongo que otra forma de expresar la solución sería decir que $x=\text{anything}$ y $y=(2n+1)\pi$ o $y=(2n+1)\pi-2x$ .

Answer 2

Para encontrar dos variables se necesita dos ecuaciones.

Si hubieras intentado $ y = 0 $ habrías conseguido $ x = \pi/2, 3\pi/2... $

Answer 3

En la parte superior de su solución, encontrar $x$ y $y$ para: $$Cos(x)=-Cos(x+y)$$

I. Si $y = 0$ entonces cualquier x $\in$ $\Re$ es una solución.

II. Por la identidad trigonométrica $Cos(x)=-Cos(x+\pi)$ obtenemos que si $y = \pi$ x puede ser de nuevo cualquier número real.

Para solucionar este tipo de problemas en general, yo miraría primero las identidades y vería si alguna es similar a mi problema. Identidades