Una cuestión sobre la limitación de la expectativa condicional de una variable aleatoria

Question

Supongamos que se le da un espacio de probabilidad $ ( \Omega, \mathcal{ F}, P ) $ una variable aleatoria acotada $ X $ en $ ( \Omega, \mathcal{ F}, P) $ y un sub- $\sigma$ -Álgebra $ \mathcal{A} $ de $ \mathcal{F} $ .

¿Es cierto que la expectativa condicional $ E[X | \mathcal{A}] $ de $ X $ dado $ \mathcal{A} $ ¿es de nuevo una variable aleatoria acotada?

Muchas gracias por su ayuda. Saludos, Si

Answer 1

Sí. El resultado se desprende del hecho de que, si $X_1\le X_2$ a.s., entonces $E(X_1|\mathcal{A})\le E(X_2|\mathcal{A})$ .

Dejemos que $-B\le X\le B$ para alguna constante $B$ y aplicar el resultado anterior.