Una prueba que implican la phi de Euler función

Question

Problema:

Deje $\varphi$ ser el phi de Euler de la función, en la que por cualquier $n \in \mathbb{Z^+}$, $\varphi(n)$ es el número de enteros positivos a menos de $n$ que son relativamente primos con $n$.

Mostrar que si $d \mid n$, $\varphi(d) \mid \varphi(n)$ donde $d$ $n$ son enteros positivos.

Mi intento:

Debido a $d \mid n$, existen algunos $a \in \mathbb{Z}$ tal que $da = n$.
Si $d = 1$,$\varphi(d) = 1$, lo $\varphi(d) \mid \varphi(n)$ cualquier $n \in \mathbb{Z^+}$ y hemos terminado.

Así que en lugar, supongamos que el $d \neq 1$. Ahora estoy tratando de mostrar que $\{\Delta \in \mathbb{Z^+}\mid \Delta < d, \ \gcd(\Delta, d) = 1\}\subseteq \{\Delta \in \mathbb{Z^+}\mid \Delta < d, \ \gcd(\Delta, n) = 1\}$ mostrando que cada vez un número entero $\Delta < d$ es primo relativo con $d$ (lo que está "dentro" $\varphi(d)$), entonces también es primo relativo con $n$.

Sin embargo, me di cuenta de que esto no es posible demostrar. Si $n = \Delta \cdot d$, entonces la premisa $d \mid n$ es cierto, pero si $\gcd(\Delta, d) = 1$,$\gcd(\Delta, n) = \Delta$, por lo que el subconjunto relación de unas líneas más arriba no puede ser cierto en esta situación. Así que creo que este no puede ser el enfoque correcto. Si alguien puede por favor darme un puntero, voy a estar muy agradecido.

Answer 1

Vamos,

$$d={p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}} \cdot \cdot\cdot {p_{j}}^{k_{j}}$$

$\text{&}$

$$n={p_{1}}^{l_{1}}{p_{2}}^{l_{2}} \cdot \cdot\cdot {p_{j}}^{l_{j}}{p_{j+1}}^{l_{j+1}} \cdot \cdot \cdot {p_{r}}^{l_{r}} $$

Donde $\{p_{i}\}_{i=1}^r$ son números primos y $(k,j,r) \in \mathbb W$

Desde $ \ d|n \implies l_{i} \geq k_{i} \ \ \forall \ \ i \in \{1,2,3,\cdot\cdot\cdot,j\} $

A partir de la definición de $\phi$ función, tenemos,

$$\phi(d)={p_{1}}^{(k_{1}-1)}{p_{2}}^{(k_{2}-1)} \cdot \cdot\cdot {p_{j}}^{(k_{j}-1)} \prod_{i=1}^{j} (p_{i}-1) $$

$\text{&}$

$$\phi(n)={p_{1}}^{(l_{1}-1)}{p_{2}}^{(l_{2}-1)} \cdot \cdot\cdot {p_{r}}^{(l_{r}-1)} \prod_{i=1}^{r} (p_{i}-1) $$

Desde $l_{i} \geq k_{i} \implies l_{i} -1 \geq k_{i} -1 \ \ \forall \ \ i \in \{1,2,3,\cdot\cdot\cdot,j\} $. También, $r \geq j$

$\implies \phi(d)|\phi(n)$

Q. E. D.