Matrices aleatorias: dominancia estocástica de la traza y el determinante

Question

Para esta pregunta, si $X$ y $Y$ son 2 escalares reales aleatorios, entonces $X$ tiene un dominio estocástico de primer orden sobre $Y$ si para cualquier $x$ , $\Pr[X\leq x]\leq\Pr[Y\leq x]$ . Escribamos $X\succeq Y$ .

Supongamos que $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices reales aleatorias semidefinidas positivas y estoy interesado en las condiciones suficientes que me permitan decir $\operatorname{tr}(A)\succeq\operatorname{tr}(B)$ o $\det(A)\succeq\det(B)$ . En particular, ¿puedo decir algo si sé $c'Ac\succeq c'Bc$ para todos $n\times 1$ no estocástico $c$ ?

Answer 1

Para el rastreo, puede utilizar $c$ iguales a los vectores unitarios para elegir los elementos diagonales de las matrices. Cada elemento diagonal de (A) tiene dominancia estocástica sobre el elemento correspondiente de (B), la suma de v.r. de (A) tendrá dominancia estocástica sobre la suma de v.r. de (B).

Para el determinante, se puede utilizar el hecho de que $\det\left(M\right)=e^{\mathrm{Tr}\left(\log\left(M\right)\right)}$ (quizá haya que trabajar un poco más para tratar el caso en el que se tienen valores propios nulos). Si tomamos $c$ para que sean los distintos elementos de una base eigenvectorial (o de Jordan) para $B$ entonces cada valor propio de $B$ está dominada estocásticamente por un elemento diagonal de $A$ en esta base. Estos elementos de $A$ suma a $\mathrm{Tr}\left(A\right)$ . Desde $\log$ es cóncava, la suma de las $\log$ s de estos elementos deben estar dominados estocásticamente por la suma de los $\log$ s de los valores propios de $A$ . (Por favor, verifique los detalles de esto; no he comprobado todo con mucho cuidado y le dejo los detalles de la prueba). Así que $\mathrm{Tr}\left(\log\left(A\right)\right)\succeq\mathrm{Tr}\left(\log\left(B\right)\right)$ . Desde $e^{x}$ es una función creciente, $e^{\mathrm{Tr}\left(\log\left(A\right)\right)}\succeq e^{\mathrm{Tr}\left(\log\left(B\right)\right)}$ Así que $\det A\succeq\det B$ .