Clases de equivalencia con módulo $m(x)$

Question

Demostrar que $W = \{f(x)m(x) | f(x)\in\mathbb{F}_2[x]\}$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{F}_2[x]$ cuyos cosets son exactamente las clases de equivalencia de $\mathbb{F}_2[x]$ con respecto a la congruencia módulo $m(x)$ .

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Estoy confundiendo este problema, ya que $w=f(x)m(x)$ para cualquier elemento $g(x)$ en $\mathbb{F}_2[x]$ , $g(x)f(x)m(x)\mod{m(x)}$ y $f(x)m(x)g(x)\mod{m(x)}$ dar cero. No creo que eso sea correcto. ¿Podría alguien ayudarme a aclarar mi confusión?

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EDITAR:

Creo que me hago a la idea. Esto es lo que tengo hasta ahora, pero parece que no está bien.

Defina el coset de la izquierda como $g(x)+W$ y el coset derecho sea $W+g(x)$ con $g(x)\in\mathbb{F}_2[x]$ . Para cualquier valor no nulo $m(x)\in\mathbb{F}_2[x]$ tenemos $$g(x)+f(x)m(x)=g(x)\pmod{m(x)}\qquad\text{and}\qquad f(x)m(x)+g(x)=g(x)\pmod{m(x)}$$

Answer 1

Si he entendido bien su pregunta, su pregunta se aplica a un escenario más general en el que $K$ es cualquier campo, $R$ es cualquier anillo conmutativo con identidad que contiene $K$ y $m \in R$ es cualquier elemento. En su notación, puede tomar $K = \mathbb{F}_2, R = \mathbb{F}_2[X]$ y $m = m(x)$ . En realidad se puede generalizar mucho más, pero no importa.

Ahora $(m) := \{ f m : f \in R\}$ (en su notación, esto es lo que usted llama $W$ ) es un subgrupo de $R$ con respecto a la adición, y también es cerrado bajo la multiplicación escalar por $K$ lo que lo convierte en un subespacio vectorial de $R$ (¡Creo que como parte de su problema quieren que lo demuestre!). En realidad es cerrado bajo la multiplicación por cualquier elemento de $R$ , lo que la convierte en una ideal pero parece que no lo necesitas.

Como la operación de grupo aquí (adición) es conmutativa, los cosets de la derecha y de la izquierda son la misma cosa. Si $g \in R$ el coset $g + (m)$ es por definición el conjunto de todas las sumas $g + h$ , donde $h \in (m)$ o en otras palabras $g+ (m)$ es el conjunto de todas las sumas $g + fm$ , donde $f \in R$ . Así que por supuesto $g + (m) = (m) + g$ . No entendí muy bien lo que querías decir en tu edición.

Si $g_1, g_2 \in R$ se dice que $g_1, g_2$ son congruente módulo $m$ si existe un $f \in R$ tal que $g_1 - g_2 = f m$ . Esta definición es simétrica en $g_1$ y $g_2$ : Puedo decir $g_1$ es congruente con $g_2$ o $g_2$ es congruente con $g_1$ o $g_1$ y $g_2$ son congruentes, no importa cómo quieras expresarlo. En otras palabras, $g_1$ y $g_2$ son congruentes módulo $m$ si $g_1 - g_2$ es miembro de $(m)$ .

En cuanto a su pregunta, creo que lo que quiere mostrar es lo siguiente:

Si $g_1 \in R$ la clase de equivalencia de $g_1$ modulo $m$ es igual al coset $g_1 + (m)$ .

Dejemos que $S$ sea la clase de equivalencia de $g_1$ modulo $m$ . Por definición $S$ es el conjunto de todos los elementos $g_2 \in R$ con la propiedad de que $g_2$ es congruente con $g_1$ modulo $m$ . Pero $g_2$ es congruente con $g_1$ modulo $m$ si y sólo si $g_1 - g_2 \in (m)$ si y sólo si $g_1 \in g_2 + (m)$ . Así que realmente no hay nada de esto.