$\sum^n_{j=0} (-1)^{j-1}j $

Question

Estoy tratando de encontrar una fórmula para la serie alterna $S_n= \sum^n_{j=0} (-1)^{j-1}j $ en términos de n pero estoy bloqueado. Por ensayo y error sé que es igual a $\frac{ (-1)^{n+1}(2n+1)}{4} + \frac{1}{4}$ pero no encuentro la manera de hacerlo desde allí. ¿Alguien tiene una pista de qué hacer por favor?

Answer 1

Camino 1 : dividido en dos casos, $n$ incluso y $n$ impar. En el primer caso,

$$(1-2)+\cdots((2m-1)-2m)=\underbrace{(-1)+\cdots+(-1)}_m=-m,$$

donde $n=2m$ . En caso contrario, si $n=2m+1$ es impar,

$$\sum=(-m)+(2m+1)=m+1.$$

Pegue estas dos cosas como quiera.

Camino 2 Una aproximación mediante "funciones generadoras" sería tomar la fórmula de la suma geométrica,

$$1+x+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1},$$

tomar la derivada de ambos lados, y a continuación enchufar $x=-1$ .

Answer 2

Las soluciones elegantes del problema han sido dadas por anon. Comenzamos en cambio en la etapa en la que por ensayo y error llegó a la conjetura de que $\sum_{j=0}^n (-1)^{j-1}j=\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)}{4}+\frac{1}{4}$ . Lo que queremos decir es que después de la conjetura se puede demostrar que mecánicamente por inducción. Proporcionamos dos versiones del argumento de inducción, una que tiene la forma tradicional, y una segunda que es menos tradicional.

Inducción tradicional: Supongamos que la conjetura es correcta para $n=k$ . Demostramos que es correcto para $n=k+1$ . Así que estamos suponiendo que $$\sum_{j=0}^k (-1)^{j-1}j=\frac{(-1)^{k+1}(2k+1)}{4}+\frac{1}{4}.\tag{$ 1 $}$$ Tenemos $$\sum_{j=0}^{k+1} (-1)^{j-1}j=\left(\sum_{j=0}^k (-1)^{j-1}j\right) + (-1)^k(k+1).\tag{$ 2 $}$$ Por la hipótesis de inducción $(1)$ el lado derecho de $(2)$ es igual a $$\frac{(-1)^{k+1}(2k+1)}{4}+\frac{1}{4}+ (-1)^k(k+1).\tag{$ 3 $}$$ Tenga en cuenta que $(-1)^k=(-1)^{k+2}$ y $(-1)^{k+1}=-(-1)^{k+2}$ . De ello se desprende que la expresión $(3)$ es igual a $$(-1)^{k+2}\left(k+1 -\frac{2k+1}{4}\right)+\frac{1}{4}.$$ Esto se simplifica a $(-1)^{k+2}\frac{2(k+1)+1}{4}+\frac{1}{4}$ que es exactamente la afirmación de que la conjetura es correcta para $n=k+1$ .

De otra manera: La siguiente es una forma mejor, pero aún mecánica, de verificar su conjetura. Sea $(a_n)$ sea la secuencia cuya $n$ -el término es $\sum_{j=0}^n (-1)^{j-1}j$ . Sea $(b_n)$ sea la secuencia cuya $n$ -el término es $\frac{(-1)^{n+1}(2n+1)}{4}+\frac{1}{4}$ . Queremos demostrar que las dos secuencias son iguales. Es fácil comprobar que $a_1=b_1$ . Obsérvese que la secuencia $(a_n)$ satisface la recurrencia $$a_{n+1}=a_n+ (-1)^n(n+1).$$ Si podemos demostrar que la secuencia $(b_n)$ satisface el misma recurrencia habremos terminado. Así que queremos demostrar que $b_{n+1}-b_n=(-1)^n(n+1)$ . Calcula. $$b_{n+1}-b_n=\left( \frac{(-1)^{n+2}(2n+3)}{4}+\frac{1}{4} \right) -\left( \frac{(-1)^{n+1}(2n+1)}{4}+\frac{1}{4} \right).$$
El resto es álgebra de rutina, utilizando el hecho de que $(-1)^{n+2}=(-1)^n$ y $(-1)^{n+1}=-(-1)^n$ .