Demostrar que hay tantos vectores propios generalizados como valores propios de multiplicidad algebraica sin la forma canónica de Jordan

Question

Estoy leyendo algún tratamiento de los vectores propios generalizados en un libro de ecuaciones diferenciales. Quieren derivar que hay tantos vectores propios generalizados para un determinado valor propio $\lambda_i$ como la multiplicidad algebraica de este valor propio $\lambda_i$ . Este resultado se utiliza para demostrar que existe una transformación de base que pone la matriz en la forma canónica de Jordan.

Es lo siguiente: dejemos que $p(x)=\prod_{i=1}^q(x-\lambda_i)^{m_i}$ sea el polinomio característico de algún $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ Por lo tanto $\sum_{i=1}^qm_i=n$ con $m_i$ la multiplicidad algebraica del valor propio $\lambda_i$ . Entonces, por Cayley-Hamilton, $$\mathbf{0}=\prod_{i=1}^q(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I})^{m_i},$$ y de aquí se concluye que $S_i=\{\mathbf{v}:(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I})^{m_i}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}$ es un subespacio vectorial de dimensión $m_i$ .

No entiendo de dónde viene esta última afirmación. Ya he visto una demostración (completamente diferente) del teorema de la forma normal de Jordan. Yo demostraría Cayley-Hamilton a partir del teorema de la forma normal de Jordan, y como los sistemas de eigenes de matrices similares son iguales, podemos ver fácilmente que $S_i$ es un subespacio de dimensión $m_i$ utilizando la forma normal de Jordan de $\mathbf{A}$ .

¿Puede alguien explicarme cómo se llega a esta última conclusión sin el teorema de la forma normal de Jordan?

Answer 1

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ con $\dim V= n $ y que $T \in L(V)$ .

Lema $1$ .

Dejemos que $V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_k$ sea la descomposición de $V$ en $T$ -subespacios invariantes con $T_j := T|_{V_j} \in L(V_j)$ . Entonces el polinomio característico de $T$ es un producto de polinomios característicos de $T_j$ es decir $$p_T = p_{T_1}\cdots p_{T_k}$$

Prueba.

Elige una base $B$ para $V$ de la forma $$B = (\text{basis for }V_1, \ldots, \text{basis for }V_k)$$ La matriz de $T$ y, por tanto, también $T - \lambda I$ , con respecto a $B$ es diagonal de bloque por lo que la afirmación se deduce tomando el determinante.

Lema $2$ .

Dejemos que $G(\lambda) = \ker (T - \lambda I)^n$ sea el eigespacio generalizado y se establezca $d = \dim G(\lambda)$ . El polinomio característico de $T$ restringido a $G(\lambda)$ es $$p_{T|_{G(\lambda)}}(x) = (x - \lambda I)^{d}$$

Prueba.

El polinomio $(x-\lambda)^n$ aniquila $T|_{G(\lambda)}$ así que $\emptyset \ne \sigma\left(T|_{G(\lambda)}\right) \subseteq \{\text{zeroes of } (x-\lambda)^n\} = \{\lambda\}$ . Por lo tanto, $p_{T|_{G(\lambda)}} = (x - \lambda)^{d}$ .

Lema $3$ .

Tenemos $$V = \ker (T - \lambda I)^n \oplus \operatorname{Im}(T - \lambda I)^n = G(\lambda) \oplus \operatorname{Im}(T - \lambda I)^n$$

Prueba.

Recordemos que para cada $v \in V$ existe un único polinomio mónico $p_v \in \mathbb{C}[x]$ de grado mínimo tal que $p_v(T)v = 0$ . Dado que el polinomio mínimo $m_T$ aniquila $T$ se deduce que $m_T(T)v = 0$ por lo que tenemos $p_v\mid m_T$ y por lo tanto $\deg p_v \le \deg m_T \le n$ .

Observe que $\ker (T - \lambda I)^n \cap \operatorname{Im}(T - \lambda I)^n = \{0\}$ . De hecho, si $y \in \ker (T - \lambda I)^n \cap \operatorname{Im}(T - \lambda I)^n$ entonces $\exists x \in V$ tal que $y = (T - \lambda I)^{n}x$ . Tenemos $(T - \lambda I)^ny = (T - \lambda I)^{2n}x = 0$ así que $p_x \mid (x - \lambda)^{2n}$ . Por lo tanto, $y = (T - \lambda I)^{n}x = 0$ .

El teorema de nulidad de rango implica ahora $V = \ker (T - \lambda I)^n \oplus \operatorname{Im}(T - \lambda I)^n$ .

---

Ahora estamos preparados para demostrar nuestro resultado. Obsérvese que $\lambda$ no puede ser un valor propio de $T|_{\operatorname{Im}(T - \lambda I)^n}$ . En efecto, si existe un vector propio $y = (T - \lambda I)^n$ entonces $(T - \lambda I)y = (T - \lambda I)^{n+1}x = 0$ lo que implica $y = (T - \lambda I)^{n}x = 0$ .

Por Lemmas $1$ , $2$ y $3$ tenemos $$p_T(x) = p_{G(\lambda)}(x)p_{T|_{\operatorname{Im}(T - \lambda I)^n}}(x) = (x - \lambda)^d p_{T|_{\operatorname{Im}(T - \lambda I)^n}}(x)$$

Obsérvese que los factores son relativamente primos porque $\lambda$ no es una raíz de $p_{T|_{\operatorname{Im}(T - \lambda I)^n}}$ . Unicidad de la factorización en $\mathbb{C}[x]$ ahora implica $$d = \text{algebraic multiplicity of }\lambda$$