¿Cuál es el efecto de asignar un signo a $0$ ? En Cálculo, $0^+$ significa el lado derecho de $0$ mientras que $0^-$ significa el lado izquierdo de $0$ en un límite.
Pero aparte de eso, ¿cuáles son los efectos cuando tratamos de dar $0$ ¿una señal?
¿Cuáles son las consecuencias?
Normalmente para un signo uno querrá tener que el signo de $x$ es diferente del signo del elemento opuesto a/la inversa aditiva de $x$ .
Ahora bien, ¿qué significa esto para $0$ . Como $0$ es su propio inverso aditivo habrá que tener un signo especial para él o asignarle ambos signos.
En última instancia, ambos conducen a lo mismo.
De hecho, en algunos idiomas, como el francés, es habitual que los reales positivos incluyan $0$ y también los reales negativos.
Mientras que en inglés es común que ninguno de los dos los incluya. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en la página de Wikipedia sobre campos ordenados el elemento $0$ es de hecho un elemento del cono positivo (aunque no un elemento positivo).
Así que debe asignar ambos signos a $0$ ? ¿O una señal especial? ¿Cuál es ese signo especial que podríamos asignar?
Sí, ambos o algo especial. No tendría sentido decir $0$ es positivo pero no negativo o viceversa. Esto rompería las cosas. El signo especial suele ser simplemente $0$ . Recordemos, por ejemplo la función de signo es $+1$ para $x>0$ es $-1$ para $x<0$ y $0$ para $x=0$ .
Generalmente no nos referimos al 0 como si tuviera algún signo. En cambio, tiene su propia clase. Podrías representarlo como un símbolo si realmente quisieras, pero la razón por la que usamos un signo negativo es por simplicidad... podríamos idear un sistema de numeración diferente para los números negativos de modo que no se necesitara ningún signo, pero es mucho más fácil simplemente reflejar nuestros reales positivos a los reales negativos con un signo delante. Con el 0, sólo hay un caso, y sólo se refleja a sí mismo, por lo que el signo es redundante. Como nota, la inclusión del 0 como número natural ha sido un largo debate, y existen múltiples notaciones para incluirlo o excluirlo. Incluso hay cosas como "números enteros", "números naturales", "enteros no negativos" (este último no incluye el 0, ya que el 0 no es positivo) y muchas más notaciones, tanto escritas como simbólicas
Editar: Debo señalar que algunos programas informáticos utilizan $-0$ . No recuerdo de memoria, pero algunos scripts para páginas web diferencian entre $0$ y $-0$ Y el problema es muy importante cuando se discute el complemento a dos frente al complemento a uno (si quieres te lo explico, pero hay grandes tutoriales en internet) Tl;dr $-0 =0$ para todos los fines intensivos
No entiendo los detalles, pero parece que esto tiene que ver con los filtros.
Definición 0. Dado un espacio topológico $X$ y un elemento $x \in X$ , definen que $x^\star$ es el conjunto de todas las vecindades de $x$ . Se trata de un filtro, llamado filtro de vecindad de $X$ .
Definición 1. Dado un conjunto totalmente ordenado $X$ y un elemento $x \in X$ debería ser posible definir $x^+$ y $x^-$ para ser $x^*$ para dos formas diferentes de hacer $X$ en un espacio topológico.
Entonces debería ser posible definir nociones como "derecho-continuo" en términos de límites que hacen referencia a $x^+$ y $x^-$ . Tal vez incluso podamos hacer que el conjunto $$\{x \mid x:\mathbb{R}\} \sqcup \{x^+ \mid x:\mathbb{R}\} \sqcup \{x^- \mid x:\mathbb{R}\} \sqcup \{x^\star \mid x:\mathbb{R}\}$$ en una estructura algebraica propia. Así, por ejemplo, imagino que deberíamos tener:
$$2 \cdot (3^+) = 6^+, \qquad (-2) \cdot 3^+ = (-6)^-$$
etc.
He hecho de esta respuesta la wiki de la comunidad; ¿puede alguien que entienda los detalles explicarlos aquí? Esto me ayudaría a mí también.
@SimpleArt, por desgracia, la pregunta no puede responderse sin ponerse "matemático"... Pero en fin, no son conceptos difíciles. Deberías poder aprender sobre espacios topológicos en YouTube, por ejemplo, si no los conoces ya.
@goblin Creo que lo que quieres es más elemental. Simplemente tomamos la topología inducida sobre $A:=\{a \in X : a \geq x\}$ . Una función es continua por la derecha si su restricción a $A$ es continua. Análogamente para la izquierda continua. Sin embargo, creo que esto no responde a la pregunta del OP (que, como Noah, tampoco entiendo qué quiere exactamente). Se está centrando en los ejemplos engañosos que dio (continuidad derecha, izquierda), no en el aspecto de "asignar un signo".
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No entiendo muy bien su pregunta - ¿puede dar un ejemplo de "intentar dar $0$ ¿una señal?" A mí me parece que $0^+, 0^-$ no son ejemplos de ello; también tomamos límites a $2^-$ o $2^+$ etc.
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@goblin ¿Qué etiqueta debo usar?
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@NoahSchweber No sé qué pasa cuando damos $0$ una señal. Los límites eran simplemente lo más parecido que se me ocurría.