Si $\rho:(\mathbb{C}^{\times})^n \rightarrow GL_m(\mathbb{C})$ es una representación fiel, ¿su imagen consiste enteramente en matrices diagonales?

Question

Supongamos que $\rho:(\mathbb{C}^{\times})^n \rightarrow GL_m(\mathbb{C})$ es una representación fiel, para algún número entero $m$ .

Mi profesor me ha dicho que la imagen de $(\mathbb{C}^{\times})^n$ en $\rho$ se compone enteramente de matrices diagonales.

Llevo días intentando mostrar esto y no consigo entender por qué es cierto. Sí sé que la imagen debe ser un subgrupo abeliano de $GL_m(\mathbb{C})$ pero hay muchas matrices invertibles y no diagonalizables que conmutan con otras matrices.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Es fundamental asumir que $\rho$ es un mapa holomorfo. Entonces está determinado unívocamente por su restricción $\rho_c$ a $(S^1)^n$ que es un grupo compacto. Por lo tanto, se puede elegir una forma hermitiana en $\mathbb C^m$ tal que $\rho_c(g)$ es un operador unitario para cualquier $g \in (S^1)^n$ . Por lo tanto, mediante el álgebra lineal, se puede cambiar de base para que todos $\rho_c(g)$ son diagonales. Entonces los elementos no diagonales de $\rho(g)$ son funciones holomorfas que desaparecen en $(S^1)^n$ por lo que se desvanece en su totalidad $(\mathbb C^{\times})^n$ (por análisis complejo).

Contraejemplo para la afirmación si $\rho$ no se toma como holomorfo: toma $m=2$ , $n=1$ y $\rho(z) = \frac{z}{|z|} \begin{pmatrix} 1 & \mathrm{log}|z| \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Por cierto, la presunción de fidelidad no era importante aquí.