La primera vez que aparece algún tipo de fijación gauge es durante el procedimiento Gupta-Bleuler, que se utiliza para poder cuantificar el campo de fotones:
El lagrangiano básico invariante gauge conduce a $\Pi_0=0$ que es incompatible con las relaciones canónicas de conmutación. Además, la función de Green, es decir, el propagador, para la ecuación de movimiento correspondiente no existe. Por lo tanto, se añade un término al Lagrangiano $\frac{1}{2} (\partial_\mu A^\mu)^2$ que no es invariante gauge. Sin embargo, ahora $\Pi_0 \neq 0$ y se puede derivar el propagador. Pero a cambio aparecen grados de libertad no físicos (longitudinales/temporales), que son eliminados por la condición débil de Lorenz, que garantiza que sólo escogemos estados físicos.
En lugar de $\frac{1}{2} (\partial_\mu A^\mu)^2$ se puede añadir $\frac{1}{2\zeta } (\partial_\mu A^\mu)^2$ que se denomina término de fijación gauge a la lagrangiana. El parámetro $\zeta$ es el parámetro de calibre que determina en qué calibre estamos trabajando. $\zeta =1 $ para la galga de Feynman, también conocida como galga de Lorenz, $\zeta = \infty$ para la galga unitaria, etc. El propagador es entonces $\zeta$ pero todos los observables físicos son, por supuesto, independientes de la galga.
Un problema similar aparece para los campos de gluones. De nuevo, se introduce un término de fijación gauge, pero esta vez para asegurar la unitariedad de la Matriz-S se necesitan campos fantasmas.
Estos problemas parecen aparecer porque intentamos describir un campo de espín 1 sin masa, que tiene dos grados de libertad físicos, de forma covariante, lo que significa un cuatro vector. En el gauge unitario, es decir, sin un término de fijación gauge, e imponiendo una condición gauge, por ejemplo el gauge de Coulomb desde el principio, no aparecen fotones timelike/longitudinales. Pero el gauge de Coulomb no es invariante de Lorentz ( $A_0=0$ ). Para una descripción covariante necesitamos un término de fijación gauge.
Estoy un poco confundido sobre estos conceptos y su conexión:
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¿Cómo funciona exactamente el término de fijación gauge? Entiendo que es un término que destruye la invariancia gauge, pero no entiendo cómo fija un gauge. (En este contexto a menudo se utiliza el término multiplicador de Lagrange, pero no puedo hacer la conexión. Si alguien pudiera explicar cómo funciona este concepto en este contexto, me ayudaría mucho).
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¿Los fotones longitudinales/temporales son también, en cierto sentido, fantasmas? Sin embargo, para el caso de los fotones esos grados de libertad no físicos se eliminan mediante una condición extra, para el campo de los gluones, se introducen adicionalmente grados de libertad no físicos (término fantasma en el lagrangiano), para asegurar la unitaridad. ¿Hay alguna relación entre estos conceptos? ¿Qué ocurre con los gluones longitudinales/temporales? ¿Son los campos fantasma necesarios sólo si queremos trabajar en un gauge arbitrario
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¿Cuál es la razón por la que se necesitan fantasmas? (Matemáticamente para dar sentido a la teoría la teoría, es decir, hacer la matriz S unitaria de nuevo, pero) ¿Es porque queremos trabajar en un gauge arbitrario y con una descripción no covariante no covariante con un gauge fijo desde el principio este problema no aparecería? Los gluones llevan carga ellos mismos y por lo tanto pueden formar bucles. En esos bucles de gluones tenemos que añadir todas contribuciones, incluyendo las no físicas (longitudinales/temporales) lo que hace que la matriz S no sea unitaria En contraste con el caso del fotón la contribución de estos bucles no puede ser cancelada por una condición débil de Lorentz (que define lo que entendemos como estados estados físicos), y por lo tanto los fantasmas son en algún sentido el equivalente a ¡la condición débil de Lorentz?!
Estoy tratando de entender esto usando la formulación canónica de la QFT, pero desafortunadamente la mayoría de los libros lo explican usando el enfoque de la integral de trayectoria. ¡Cualquier idea o consejo de lectura sería muy apreciado!
