Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado

Question

Estoy tratando de encontrar la línea tangente en $y=\sqrt{x} $ , (1,1)

Sé que tengo que usar la ecuación de la línea tangente y termino con $(\sqrt{x} - 1)/1-1$

Answer 1

EDITAR: Aclaremos un par de cosas.

El pendiente de la línea secante entre $(a, f(a))$ y $(x,f(x)))$ es $$\frac{f(x) - f(a)}{x-a}.$$

El pendiente de la línea tangente en $(a, f(a))$ es $$\lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a}.$$

Para encontrar el ecuación de una recta tangente, hay que utilizar la fórmula punto-pendiente, que explico a continuación.

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Ahora, en su caso, $f(x) = \sqrt{x}$ y tenemos $a = 1$ , $f(a) = 1$ . Por tanto, la pendiente de la recta tangente es $$\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}.$$ Ahora tenemos que evaluar este límite.

Si tratamos de evaluar este límite simplemente introduciendo $x = 1$ obtenemos $0/0$ lo que supone un problema (dividir por cero es malo), por lo que necesitamos una nueva estrategia.

Idea: Cuando se evalúan los límites de las fracciones, un buen truco es multiplicar la parte superior e inferior por el "radical conjugado". Así:

$$\begin{align} \frac{\sqrt{x} - 1}{x-1} & = \frac{\sqrt{x} - 1}{x-1}\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} \\ & = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x-1)(\sqrt{x} + 1)} \\ & = \frac{x - 1}{(x-1)(\sqrt{x} + 1)} \\ & = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}. \end{align}$$

Ahora podemos evaluar $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$ introduciendo $x = 1$ no hay problema. Esto nos dará la pendiente de la recta tangente. Si quieres la ecuación de la recta tangente, necesitas la fórmula punto-pendiente, que se explica a continuación.

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La fórmula punto-pendiente dice que una línea con pendiente $m$ que pasa por $(x_0, y_0)$ tiene una ecuación de la forma $$y - y_0 = m(x-x_0).$$

En su caso, la línea tangente pasa por $(1,1)$ para que puedas enchufar $x_0 = 1$ , $y_0 = 1$ . También tendremos la pendiente, $m$ de la sección anterior una vez que evaluemos ese límite (lo que te dejo hacer).

Answer 2

Varios comentarios:

• No deberías escribir $(\sqrt{x} - 1)/1-1$ si te refieres a $(\sqrt{x} - 1)/(1-1)$ ; recuerde las convenciones sobre el orden de las operaciones.
• Si pones $1$ en lugar de $x$ en $(\sqrt{x} - 1)/(x-1)$ lo que se obtiene es $(\sqrt{1} - 1)/(1-1)$ . Esto es $0/0$ .
• La expresión $(\sqrt{x} - 1)/(x-1)$ da la pendiente de a secante línea, no de una tangente línea.
• Desde $0/0$ es indefinido, para encontrar la pendiente de la recta tangente, hay que encontrar $\lim\limits_{x\to1} (\sqrt{x} - 1)/(x-1)$ , en lugar de simplemente enchufar $1$ en lugar de $x$ .

Answer 3

Y=raíz de x, o simplemente f(x)= raíz de x en el punto (1,1) derivando la raíz de x obtenemos x^1/2 que es igual a 1/2.raíz de x introducimos el valor de x de (1,1) y obtenemos 1/2 conocemos y,m,y x por lo que solo necesitamos encontrar c en esta ecuación, y=mx+c entonces obtenemos 1=1/2*1+c c=1/2 por lo que nuestra ecuación será y=1/2x+1/2