Espinor que satisface la ecuación de Dirac con $M\neq 0$ cómo se debe empezar a evaluar el escalar de Pauli-Lubanski en él

Question

Me han proporcionado que Spinor $\psi(x)$ que satisface la ecuación de Dirac con $M\neq 0$ Cómo se debe empezar a evaluar el escalar de Pauli-Lubanski en él, me refiero a cómo evaluar $W^{\mu}W_{\mu}\psi(x)?$ Donde, hemos dado $$(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\pm M)\psi(x)=0$$ $W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\alpha\beta\sigma}\sum^{\alpha\beta}\frac{\partial}{\partial x^{\sigma}}$ y $\sum^{\alpha\beta}=\frac{i}{4}[\gamma^{\alpha},\gamma^{\beta}]$

Cualquier sugerencia útil es bienvenida y gracias por ello.

Answer 1

Fields, creo que el último fue un consejo realmente útil. Puedo añadir que debes reconocer la derivada como el operador de momento. $W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\alpha\beta\sigma}\sum^{\alpha\beta}P^{\sigma}$ . Entonces puedes ir al marco de reposo (ya que es una partícula masiva) y evaluar el escalar. Se tiene $P^\mu=(m,0)$ por lo que el índice $\sigma$ debe ser $0$ de lo contrario no se obtiene ninguna contribución. Por último, debe notar/definir el giro $\Sigma_i=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\Sigma^{jk}$ y debería encontrar el valor $-m^2\Sigma_i\Sigma_i$ para el escalar, que en realidad es $-m^2s(s+1)$ con $s=\frac{1}{2}$ . Espero que sea útil.