Aplicaciones de la geometría de la información a las ciencias naturales

Question

Estoy contemplando temas de tesis de licenciatura, y estoy buscando un tema que combine mis áreas favoritas de análisis, geometría diferencial, teoría de grafos y probabilidad, y que también tenga aplicaciones matemáticas (relativamente) profundas a la biología o la física (no estoy planeando hacer un doctorado en matemáticas puras).

En este sentido, hace poco me topé con la geometría de la información. Con esto me refiero al campo de la utilización de datos para generar una variedad riemanniana con la métrica de información de Fisher. ¿Podría decirme qué aplicaciones tiene este campo, en particular para la biología (matemática) o la física (estadística)?

Además, ¿existen buenas referencias, al nivel de un estudiante de doctorado versado en probabilidad, análisis y geometría (pero no tanto en inferencia estadística)?

(Y, esto va un poco más allá de la pregunta, pero si tienes alguna otra idea sobre qué temas serían interesantes dadas mis preferencias anteriores, por favor, compártela).

Answer 1

Soy un teórico de la información y trato de darles mi opinión personal. Hace unos tres años, una conferencia sobre geometría de la información. Como se puede ver allí, hay muchas aplicaciones, pero la mayoría de las aplicaciones están profundamente ligadas a la Estadística. Sin embargo, en mi opinión, la geometría de la información no pudo aportar resultados que influyeran en la investigación relacionada con la probabilidad y la estadística. Y tampoco se observaron resultados fundamentalmente originales que entusiasmaran a los investigadores. La geometría diferencial es en sí misma un obstáculo debido a su complejidad. Por supuesto, se trata de juicios muy subjetivos y nadie puede predecir el futuro, pero al menos en la actualidad, los investigadores no están muy entusiasmados con los resultados.

Puede haber conexiones interesantes con otros descubrimientos de la ciencia, pero aún así, creo que no hemos visto algunos resultados de la geometría de la información que se estén utilizando ampliamente incluso en estadística.

Creo que esto es así, en parte porque el campo es aún muy joven e inmaduro. Veo un gran potencial en aportar conocimientos geométricos a la estadística, pero creo que es todo un reto para un investigador joven.

Estoy deseando encontrar la forma de aplicarlo en mi propia investigación, aunque todavía no he encontrado ninguna manera.

Las secciones 2 y 3 del este libro analiza la relación con las estadísticas.

Answer 2

Personalmente, he trabajado en este ámbito y he publicado tres artículos en actas de congresos (véase este documento , este otro y éste ). Puedo facilitarle algunos títulos de libros:

S. Amari&al., Geometría diferencial en la inferencia estadística Instituto de Estadística Matemática (1987). Actualmente está disponible gratuitamente en línea aquí .

Shun-ichi Amari; Hiroshi Nagaoka, Métodos de geometría de la información , AMS (2000).

Khadiga A. Arwini, Christopher T.J. Dodson, Geometría de la información Springer (2008).

También puede leer el Entrada de Wikipedia sobre este asunto.

Creo que estos consejos le proporcionarán un buen punto de partida.

Answer 3

La pregunta es antigua, pero hay un libro más o menos nuevo que sería una buena respuesta: Teoría de la información y sus aplicaciones (2016) de Shun-Ichi Amari. ( Información sobre el libro en el sitio web de Springer | libro en Amazon.com ) Supone más o menos lo que pedías, y la mitad del libro trata de las aplicaciones. (Aunque está más orientado a aplicaciones en aprendizaje automático que en ciencias naturales, en general).

Es de suponer que ya hace tiempo que terminaste tu tesis de licenciatura, pero espero que esto sea útil para futuros visitantes con la misma pregunta.