Encuentre $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ .

Question

Encuentre $\text{Aut}(\mathbb{Z})$ .

I encontrado una respuesta en Yahoo, que no entiendo del todo.

Recordemos que un isomorfismo de un grupo cíclico debe llevar generador a generador. Los únicos generadores de $\mathbb{Z}$ son $1$ y $-1$ .

Por lo tanto, los únicos automorfismos posibles son: $f(n)=n$ y $f(n)=-n$ .

Por lo tanto, $|\text{Aut}(\mathbb{Z})|=2$ y debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ .

¿Podría alguien intentar explicarme esto, tal vez formulado de otra manera? Especialmente la primera línea "Recuerde que .. al generador".

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $f$ es un automorfismo de $\mathbb Z$ entonces $f(n) = nf(1)$ Así que $f$ está completamente determinado por el lugar al que envía $1$ (un generador de $\mathbb Z$ ). Ahora bien, si $f(1) = m$ entonces $f(n) = nf(1) = nm$ , por lo que la imagen de $f$ es el subgrupo $m\mathbb Z$ . Así, si queremos $f$ sea suryente, entonces necesariamente $f(1) \in \{-1,1\}$ .