Acabo de terminar un máster en matemáticas y quiero aprender todo lo posible sobre los campos numéricos algebraicos y especialmente las aplicaciones a la ecuación de Pell generalizada (mi tema de tesis), $x^2-Dy^2=k$ , donde $D$ es libre de cuadrados y $k \in \mathbb{Z}$ . Tengo una base sólida en álgebra moderna y teoría de números elemental, así como en análisis. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Actualmente estoy leyendo el libro de Harvey Cohn ' Teoría numérica avanzada ' con un progreso lento pero marcado. Gracias.
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Matt Miller
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En particular, en vista del enfoque de sus estudios, sugiero el siguiente libro adicional; donde adicional se entiende que no lo sugeriría como el único libro (ver abajo para la explicación).
Existe un libro bastante reciente (en dos volúmenes) de Henri Cohen titulado "Number Theory" (Graduate Texts in Mathematics, volúmenes 239 y 240, Springer). [Para evitar cualquier riesgo de confusión: no se trata de los dos libros GTM del mismo autor sobre teoría de números computacional].
Contiene material relacionado con las ecuaciones diofantinas y las herramientas utilizadas para estudiarlas, en particular, pero no sólo, las de la Teoría Algebraica de Números. Sin embargo, no se trata realmente de una introducción a la Teoría Algebraica de los Números; aunque el libro contiene un capítulo de Teoría Básica de los Números Algebraicos, que cubre los "resultados estándar", no contiene todas las pruebas y el autor remite explícitamente a otros libros (incluyendo varios de los ya mencionados).
Sin embargo, podría imaginar que una rica exposición de cómo se puede aplicar la teoría que se está aprendiendo a varios problemas diofánticos podría ser valiosa.
Nota final: el libro consta de dos volúmenes, el segundo es principalmente sobre herramientas analíticas, formas lineales en logaritmos y formas modulares aplicadas a ecuaciones diofantinas; para el contexto actual (o al menos inicialmente), el primer volumen es el relevante.
Sergei
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Si quieres tener un bastante sólido de este tema, entonces se le sugiere que lea el libro Conferencias sobre la teoría algebraica de los números de Hecke que es extremadamente excelente en la discusión de temas incluso importantes hoy en día, o el informe de la teoría de números de Hilbert cuyo fundamento es realmente sólido.
Además, el libro de Gauss, siendo un poco viejo y duro, es una buena referencia sobre las formas cuadráticas y él mismo ofrece dos tipos diferentes de pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática que me parecen excelentes.
Por último, pero no menos importante, me gustaría confirmar una vez más el libro de Jurgen Neukirch que señala la conexión entre los ideales y los entramados, es decir, los números algebraicos y la geometría.
flighttime
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Podría estar equivocado, pero creo que Borevich y Shafarevich cubrir el material relacionado con la ecuación de Pell. Si no es así, sigue siendo un libro excelente sobre la teoría algebraica de los números, al igual que "A Course in Arithmetic" de Serre. Sin embargo, Serre no discute la ecuación de Pell.
(También me resultó difícil leer a Cohn =)
GloryFish
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Mira: Mapa de la teoría de los números
El libro recomendado allí (Manin/Panchishkin's "Introduction to Modern Number Theory") parece increíblemente completo, y muy legible.
