Buenos libros de teoría algebraica de números

Question

Acabo de terminar un máster en matemáticas y quiero aprender todo lo posible sobre los campos numéricos algebraicos y especialmente las aplicaciones a la ecuación de Pell generalizada (mi tema de tesis), $x^2-Dy^2=k$ , donde $D$ es libre de cuadrados y $k \in \mathbb{Z}$ . Tengo una base sólida en álgebra moderna y teoría de números elemental, así como en análisis. ¿Alguien tiene alguna sugerencia? Actualmente estoy leyendo el libro de Harvey Cohn ' Teoría numérica avanzada ' con un progreso lento pero marcado. Gracias.

Answer 1

Conozco muy pocos libros más entrañables sobre el tema que el de Ireland y Rosen Introducción clásica a la teoría moderna de los números .

Answer 2

Aunque el comentario de Mariano arriba es sin duda cierto y la respuesta más completa que obtendrás, hay un par de textos que se distinguen en mi mente de la multitud de libros de texto con el título genérico de "Teoría algebraica de los números" que podrían tentarte. El primero deja de lado gran parte de la teoría algebraica de números, pero lo que hace, lo hace de forma increíblemente clara (¡y es barato!). Se trata de "Number Theory I: Fermat's Dream", una traducción de un texto japonés de Kazuya Kato. El segundo es "Primes of the form $x^2+ny^2$ que en términos de llegar a algunas de las partes más sorprendentes y profundas de la teoría algebraica de los números con el menor número posible de requisitos previos, tiene que ser la mejor opción. Para algo un poco más enciclopédico después de haber terminado con esos (si es posible "terminar" con el libro de Cox), mi referencia personal favorita más completa es Algebraic Number Theory de Neukirch.

Answer 3

Marcus's Number Fields es un buen libro de introducción, pero no está en LaTeX, así que se ve feo. Además, no hace ninguna teoría local (p-ádica), así que deberías emparejarlo con el excelente libro de introducción p-ádica de Gouvêa y tendrás un gran primer curso de teoría algebraica de números.

Actualización: en 2018 se publicó una versión mecanografiada de Marcus y en 2020 una tercera edición de Gouvêa.

Answer 4

Muchas personas han recomendado el libro de Neukirch. Creo que un buen complemento es el libro de Janusz Campos numéricos algebraicos . Abarcan más o menos el mismo material. La presentación de Neukirch es probablemente la más hábil; la de Janusz es la más práctica. Ahora me encantan los dos, pero Janusz me resultaba comprensible en un momento en que Neukirch era todavía completamente impenetrable.

Sin embargo, ninguno de ellos es particularmente fuerte en la ecuación Pell.

Answer 5

Te recomiendo que eches un vistazo a la obra de William Stein libro de texto gratuito de teoría de números algebraicos en línea . Es especialmente útil si se quiere aprender a calcular con campos numéricos, pero sigue siendo extremadamente legible incluso si se omiten los detalles de los ejemplos de cálculo.