Lo que está mal con esta propuesta de prueba de los dos prime conjetura?

Question

Yo estaba pensando en el gemelo primer conjetura, que hay un número infinito de dos números primos... se me ocurrió una prueba. Tengo que pensar que es incompleta o incorrecta, debido a que muchas de las grandes mentes han pensado en esto antes. No puedo ver el problema, así que pensé que iba a aumentar en un foro más amplio. Lo que está mal con esta prueba?

1) Un número n es primo si n mod p es distinto de cero para cada número primo 1 < p < n

Esto es fácil de demostrar a partir de la definición de número primo y mod. Simplemente dice que n no es igualmente divisible por otro número primo, haciendo el primer.

Deje $p_n$ = n primer $p_0 = 1$, $p_1 = 2$ ...

Considere la posibilidad de $N_n = \Pi_0^n p_n$.

Es fácil ver que $N_n \mod p_j = 0 $ para todos los números primos $0 < j < n$

$(N_n + 1) \mod p_j = 1 $ para todos los números primos $0 < j < n$, y por lo tanto, desde el #1 debe ser el primer

$(N_n - 1) \mod p_j = (p_j - 1) $ para los números primos $0 < j < n$, y por lo tanto, desde el #1 debe ser un primo así

El conjunto $p_n$ tiene una infinidad de miembros (como se muestra por Euclides) , por lo que hay infinitas $N_n$. Por lo tanto, hay un conjunto infinito de números primos gemelos $(N_n-1,N_n+1)$ .

Answer 1

Esto se repite un error común acerca de Euclides de la prueba. Su argumento no demuestra que cualquiera de las $N_n+1$ o $N_n-1$ es primo, pero en lugar de que estos números deben ser divisible por un primo mayor que $p_n$. De hecho, $N_4=210$ $N_4+1$ de los números primos, sino $N_4-1=209$ es divisible por $11$.

Para corregir otro error de concepto: su $p_0=1$ no es un número primo.

Answer 2

$$N_4-1=p_0p_1p_2p_3p_4-1=1\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7-1=210-1=209=11\cdot19$$ $$N_6+1=p_0p_1p_2p_3p_4p_5p_6+1=1\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30030+1=30031=59\cdot509$$

Answer 3

$N_7+1 = 510511 = 19 ⋅ 97 ⋅ 277$, $N_7-1 = 510509 = 61 ⋅ 8369$ es el primer ejemplo donde ambos no son los números primos. Yo diría que no sólo es $(N_k-1, N_k+1)$ no siempre un doble primer par, pero que en realidad sería muy raro.

De acuerdo a http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=5 $N_k+1$, $N_k-1$ han sido probados para k ≤ 100.000 con muy pocos números primos encontrados, y que no se doble de los números primos encuentran más allá de la pareja (2309, 2311).