¿Debo utilizar los poderes de $2$ cuando sea posible en los cálculos?

Question

Por ejemplo, si quiero la mayor precisión y eficiencia al realizar millones de iteraciones, ¿no sería mejor utilizar $2^k$ -en lugar de algún otro número cercano- siempre que sea posible, ya que el ordenador puede dividir intervalos (y algunas otras aritméticas) potencias de $2$ ¿sin errores?

Más concretamente, digamos que para un problema tuviera que ejecutar algún algoritmo durante algún tiempo $0$ más o menos al tiempo $T = 2000$ utilizando un paso de tiempo de aproximadamente $h = 0.005$ . Durante cada paso del algoritmo estoy guardando valores en vectores y/o matrices. ¿Sería mejor utilizar algo como $T = 2048$ y el paso de tiempo $h = 0.0039 = 1/256$ ? Estoy descubriendo que algunos de mis gráficos se ven bien (más apropiados) cuando uso potencias de 2.

Aunque, es extraño, porque he leído unos cuantos textos de análisis numérico, y he tenido unas cuantas clases de fundamentos de métodos numéricos y nunca he oído a nadie afirmar específicamente tal cosa.

Answer 1

El valor de $T$ no importa.

El de $h$ puede ser relevante, de hecho en los ordenadores los números reales se almacenan en la forma $x=m\,2^n$ con $m,n$ valores enteros con un rango limitado.

Así que la mejor precisión se alcanza cuando los números son representables con esta fórmula.

Por ejemplo $h=\dfrac 1{300}$ está mal representada (porque $\frac 13$ tiene un desarrollo infinito en la base $2$ ) mientras que $h=\dfrac 1{256}$ está representado exactamente.

Pero también depende de las operaciones que se realicen en $h$ Lo ideal es que la mayor precisión se alcance cuando todas las operaciones que implican $h$ llevaría a números representables.

Sin embargo, esto es probablemente improbable a menos que se realicen algunas sumas o multiplicaciones simples, tan pronto como haya divisiones o incluso operaciones más complejas involucradas es poco probable que el resultado pueda ser exacto en base $2$ con un número finito de dígitos, por lo que el resultado sufrirá aproximaciones y acumulación de errores con el tiempo.