Módulos con dobles planos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, $M$ un $R$ -módulo, $M^*=Hom_R(M,R)$ su doble. ¿Cuáles son las condiciones suficientes (y posiblemente necesarias) para $M$ que garantizan que $M^*$ ¿es plana? ¿Existe un nombre para estos módulos?

PS Yo llamaría a este módulo coflat si este término no se utilizara ya para otra cosa.

PPS Como $M^\ast$ es claramente libre de torsión, ya lo sé, gracias a este hermoso sitio web, algunas condiciones sobre $R$ que hacen que todos $M^*$ plana. También sé sobre módulos reflexivos .

Answer 1

Bugs, voy a limitarme al caso en que $M$ está generada finitamente y $R$ es noetheriano (aunque me pregunto si es necesario, no veo ningún ejemplo no generado infinitamente que falle claramente mi prueba de la cabeza).
Sin embargo, por lo que has dicho, probablemente ya lo sepas.

Propuesta: $M$ tiene un dual plano si y sólo si el casco reflexivo, $M^{\ast \ast}$ es plana.

Prueba: Desde $M$ y por lo tanto $M^\ast$ está generada finitamente, $M^{\ast}$ es plana si y sólo si es localmente libre. Pero $M^\ast$ es reflexivo, por lo que es localmente libre si y sólo si $M^{\ast \ast}$ es.