La raíz cúbica de un vector unitario es también unitaria

Question

¿Cómo puedo probar o refutar esto?

Dejemos que $z\in\mathbb C$ . Si $|z^3|=1$ entonces $|z|=1$ .

Mi intuición me dice que esto no es cierto, pero no he podido encontrar un ejemplo contrario para esto. Estaría encantado de recibir ayuda.

Answer 1

Si $|z^3|=1$ entonces $|z|^3=1$ y sólo hay un número real cuyo cubo es $1$ que es $1$ . Así que $|z|=1$ .

Tenga en cuenta que $|z^3|=|z|^3$ porque $(\forall z,w\in\mathbb{C}):|zw|=|z|.|w|$ .

Answer 2

$z \in \mathbb{C}:$

$|z^3| = |z|^3 =1.$

Tenga en cuenta que $|z| \in \mathbb{R^+}$ .

$|z|^3=1$ , $|z|^3-1=0$ o

$(|z|-1)(|z|^2+|z|+1)=0$ .

De ahí que..: $|z|=1$ la única solución real.

Nota: $ |z|^2 +|z| +1 >0$ ya que

$|z|^2+|z|+1=$

$(|z|+1/2)^2 -1/4+1 =$

$ (|z|+1/2)^2 +3/4 >0.$

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$|z^3|=|z|^3=1 \iff |z|=1$$

Demostraremos la más general $$|z^n|=|z|^n$$

lo que se deduce fácilmente por forma exponencial

$$z=re^{ix}\implies z^n=r^ne^{nix}$$

ya que por definición $r>0$ tenemos

$$|z^n|=r^n=|z|^n\quad \square$$

Como alternativa, al forma polar podemos demostrar mediante identidades trigonométricas que

$$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$$

$$z_1=r_1(\cos{x}+i\sin x)\quad z_2=r_2(\cos{y}+i\sin y)\implies z_1z_2=r_1r_2(\cos{(x+y)}+i\sin (x+y))$$

y desde aquí $|z^n|=|z|^n$ fácilmente lo siguiente.

Answer 4

$1=|z^3|=|z|^3$ Por lo tanto $1=|z|$ .