Construir un polinomio racional de grado 4 que satisfaga $f(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 0$

Question

Objetivo: Encuentre $f \in \mathbb{Q}[x]$ tal que $f(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 0$ .

Un enfoque directo consiste en observar lo siguiente

$$ \begin{align} (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 &= 5+2\sqrt{6} \\ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^4 &= (5+2\sqrt{6})^2 = 49+20\sqrt{6} \\ \end{align} $$

Si se juntan estos datos, se obtiene

$$ -1 + 10(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2}+\sqrt{3})^4 = 0, $$

así que $f(x) = -1 + 10x^2 - x^4$ satisface $f(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 0$ .

¿Existe un enfoque más mecánico? Tal vez no sea totalmente mecánico, sino algo más abstracto.

Answer 1

El procedimiento técnico es el siguiente.

Cualquier función polinómica de $r = \sqrt 2 + \sqrt 3$ debe tener la forma $a + b\sqrt 2 + c\sqrt 3 + d\sqrt 6$ para la racionalidad $a,b,c,d$ . Considere el conjunto de números de esa forma como un espacio vectorial $V$ sobre los racionales. Tiene dimensión 4.

Calcula ahora $r^0, r^1, r^2, r^3, r^4$ . Son cinco elementos del espacio vectorial $V$ y como $V$ sólo tiene dimensión 4, no pueden ser linealmente independientes. Por lo tanto deben existir racionales $a_0,\ldots, a_4$ tal que $a_4r^4 + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 = 0$ . Estos pueden ser encontrados por métodos mecánicos bien conocidos para cambiar la base de un espacio vectorial. Entonces nuestro polinomio es $a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x^1 + a_0$ .

(Hay un par de puntos finos que me he saltado aquí: $a_4$ puede ser cero; $r^3$ puede no ser independiente de $r^0, r^1, $ y $r^2$ . Nada de esto es difícil de manejar).

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He aquí un ejemplo. Calcule las potencias de $r = \sqrt2 + \sqrt3$ y tabularlos:

$$\begin{array}{crrrr} % & 1 & \sqrt2 & \sqrt3 &\sqrt 6\\ %\hline r^0 = & 1 &&&\\ r^1 = & & \sqrt2 & + \sqrt3 & \\ r^2 = & 5 & && + 2\sqrt6\\ r^3 = & &11\sqrt2 &+ 9\sqrt3 \\ r^4 = & 49 &&& + 20\sqrt 6 \end{array}$$

Ahora queremos encontrar racionales $a,b,c,d$ tal que $r^4 = ar^3 + br^2 + cr^1 + dr^0$ . Tales racionales deben existir. (A menos que $r^0\ldots r^3$ no son independientes, en cuyo caso buscamos un polinomio de menor grado, y podemos utilizar el mismo método con un esfuerzo aún menor). Las relaciones de la tabla anterior imponen relaciones a $a,b,c,d$ que podemos leer de la tabla, una relación por cada columna:

$$ \begin{array}{rrrrl} & 5b & & + d &=49\\ 11a&& + c &&= 0\\ 9a&&+c&&=0\\ &2b&&& = 20 \end{array} $$

Podemos resolver las ecuaciones mecánicamente (en este caso son especialmente sencillas; basta con leer la respuesta) y encontrar que $a=0, b=10, c=0, d=-1$ . Así que hemos calculado, de forma totalmente mecánica, que $r^4 = 10r^2-1$ lo que significa que $r$ es un cero del polinomio $$x^4-10x^2+1.$$

(Lo escribí en detalle en mi blog hace unos años, y casualmente utilizaba $\sqrt 2 + \sqrt 3$ como ejemplo).

Answer 2

Sí, existe un enfoque "puramente mecánico". Dados los números algebraicos $\alpha$ y $\beta$ y los polinomios mónicos $p_1(x)$ y $p_2(x)$ con coeficientes racionales, de los cuales $\alpha$ y $\beta$ son raíces, respectivamente, podemos producir polinomios mónicos $p_+(x)$ y $p_\times(x)$ con coeficientes racionales, de los cuales $\alpha+\beta$ y $\alpha\beta$ son raíces, respectivamente. Además, si $\alpha$ y $\beta$ son enteros algebraicos (es decir, podemos tomar $p_1,p_2$ para tener coeficientes enteros), entonces $p_+,p_\times$ tienen coeficientes enteros, por lo que son testigos de que $\alpha+\beta$ y $\alpha\beta$ son también enteros algebraicos. El argumento es clásico, pero sigo a continuación la presentación en

MR1083765 (91i:11001) . Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. Introducción a la teoría de los números . Quinta edición. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1991. xiv+529 pp. ISBN: 0-471-62546-9.

La construcción se basa en el siguiente lema:

Lema . Dado $n\ge0$ y un número complejo $\xi$ Supongamos que los números complejos $\theta_1,\dots,\theta_n$ no son todos cero, y satisfacen las ecuaciones $$ \xi\theta_j=a_{j,1}\theta_1+\dots+a_{j,n}\theta_n $$ para $j=1,2,\dots,n$ . Si el $n^2$ números $a_{j,k}$ son racionales, entonces $\xi$ es algebraico. Si son números enteros, entonces $\xi$ es un número entero algebraico.

Esto se demuestra observando que si $A$ es la matriz del $a_{j,k}$ y $x$ es el vector del $\theta_j$ entonces $Ax=\xi x$ Así que $\det(A-\xi I)=0$ y éste es un polinomio mónico con coeficientes racionales si el $a_{j,k}$ son racionales, y coeficientes enteros si son enteros. De hecho, lo hemos hecho mejor que lo indicado en el lema, ya que hemos obtenido un polinomio testigo en lugar de simplemente saber que los números son algebraicos.

Utilizando el lema, se procede como sigue: Supongamos que $p_1$ el polinomio para $\alpha$ , tiene grado $m$ y $p_2$ el polinomio para $\beta$ , tiene grado $s$ . Considere los números $n=ms$ números $\alpha^a\beta^b$ con $0\le a\le m-1$ y $0\le b\le s-1$ y llamarlos $\theta_1,\dots,\theta_n$ . Tenga en cuenta que cada $\alpha\theta_j$ es una combinación lineal del $\theta_k$ utilizando coeficientes racionales, y de forma similar para $\beta\theta_j$ . Para ver esto, observe que $\alpha\theta_j$ es otro $\theta_i$ o bien $\theta_j=\alpha^{m-1}\beta^b$ para algunos $b$ pero luego $$\alpha\theta_i=\alpha^m\beta^b=(\alpha^m-0)\beta^b=(\alpha^m-p(\alpha))\beta^b,$$ que es una combinación del $\alpha^i \beta^b$ para $0\le i<m$ . El mismo argumento se aplica a $\beta\theta_j$ .

Pero entonces se deduce que el lema se aplica tanto con $\xi=\alpha+\beta$ y $\xi=\alpha\beta$ . Y esto da el resultado. En el caso de que $\alpha=\sqrt2$ y $\beta=\sqrt3$ este procedimiento es precisamente el que MJD esbozó en su respuesta, y da como resultado un polinomio de grado $4$ para $\sqrt2+\sqrt3$ . Lo único que no está garantizado es que en todos los casos el polinomio que obtengamos de esta manera sea mínimo (es decir, irreducible sobre los racionales) si $p_1$ y $p_2$ son mínimos. Sin embargo, es en muchos casos en los que uno se encuentra en la práctica. Véase este y este Preguntas de MO para obtener algunos detalles sobre cuándo es este el caso.

Answer 3

Se puede adivinar que los conjugados serán $\pm \sqrt 2 \pm \sqrt 3$ y multiplicar todos los factores lineales correspondientes.

Answer 4

A continuación, un enfoque "mecánico". Sea $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ . Entonces $x^2=5+2\sqrt{6}$ lo que significa $x^2-5=2\sqrt{6}$ . Ahora $$(x^2-5)^2=24\Longrightarrow(x^2-5)^2-24=0.$$ Por construcción, una de las raíces de $f(x)=(x^2-5)^2-24$ es $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Answer 5

$\rm \color{#c00}{x^2}\! = 5\!+\!2\sqrt{6} =: \color{#c00}\alpha\:\Rightarrow\: 0\, =\, (\color{#c00}{x^2\! -\! \alpha})(x^2\! -\!\alpha')\, =\, x^4\!-(\alpha\!+\!\alpha')\, x^2\! +\alpha\alpha' =\, x^4\! - 10\, x^2 + 1$

En cuanto a los algoritmos, se podría calcular el polinomio característico del mapa lineal $\rm\:x \to (\sqrt{2}\!+\!\sqrt{3}) x\:$ en el espacio vectorial $\rm\:\Bbb Q\langle 1, \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\rangle.\:$ O bien, se pueden utilizar métodos de eliminación, por ejemplo, las resultantes: $ $ si $\rm\: f(x) = 0 = g(y) = 0\:$ entonces $\rm\:z = x+y\:$ es una raíz de cualquier polinomio obtenido eliminando $\rm\:y\:$ de $\rm\:f(z\!-\!y)=0=g(y).\:$ Un método genérico de eliminación es el cálculo de una resultante. Un método más eficiente es emplear el algoritmo de la base de Grobner (que tiene la ventaja de calcular una mínimo polinomio, mediante una contracción ideal).