Cálculo del campo fijo de un subgrupo de un grupo de Galois

Question

Dejemos que $L/K$ sea una extensión de Galois. Me gustaría entender cómo calcular el campo fijo de un subgrupo $H \leq Gal(L/K)$ de la forma más explícita posible. El teorema fundamental de la teoría de Galois nos da a menudo extensiones de $K$ en la forma $L^H$ que no es muy esclarecedor.

En concreto, la pregunta se inspiró en la siguiente construcción:

Dejemos que $L$ sea el campo de división de $X^{24}-1$ en $\mathbb{Q}$ . Entonces $L=\mathbb{Q}(\xi)$ es una extensión ciclotómica donde $\xi$ es una primitiva $24$ raíz de la unidad. El mapa de reciprocidad $\chi : Gal(L/\mathbb{Q}) \to (\mathbb{Z}/24\mathbb{Z})^*$ dado a través de $\sigma \mapsto a$ donde $\sigma \in Gal(L/\mathbb{Q})$ es tal que $\sigma(\xi)=\xi^a$ es un homomorfismo de grupo inyectivo en general. Aquí es un isomorfismo porque los polinomios ciclotómicos son irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ .

Por lo tanto, $Gal(L/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/24 \mathbb{Z})^* = \{1,5,7,11,13,17,19,23\} $ es abstractamente isomorfo a $(\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z})^3$ y es relativamente fácil escribir la red de sus subgrupos. El teorema fundamental de la teoría de Galois nos da ahora una biyección con la red de campos intermedios $\mathbb{Q} \subset M \subset L$ a través de $H \mapsto L^H$ . ¿Cómo podemos expresar los campos fijos $L^H$ como $\mathbb{Q}(\alpha)$ o como $\mathbb{Q}(\alpha, \beta)$ ?

Por ejemplo, tome $H=\{1,11,17,19 \}$ . Todos estos automorfismos fijan $\eta = \xi+\xi^{11}+\xi^{17}+\xi^{19}$ y así $\mathbb{Q}(\eta) \subset L^H$ . Ahora $\eta \notin \mathbb{Q}$ por lo que se trata de una extensión propia de $\mathbb{Q}$ y $L^H=\mathbb{Q}(\eta)$ .

Hay dos razones por las que no estoy del todo satisfecho con el proceso anterior:

1. No siempre funciona: Para $H=\{1, 13\}$ obtenemos $\mathbb{Q}(\xi + \xi^{13})$ , pero en realidad $\xi + \xi^{13}=0$ por lo que la inclusión es estricta.
2. Aunque funcione, no es a priori claro que alguna suma de potencias de $\xi$ no está fijado por ningún otro automorfismo.

Me interesaría tanto una $\alpha$ tal que $\mathbb{Q}(\alpha)=L^{\{1,11,13,23\}}$ y un marco más general acerca de cómo ir a buscar generadores para campos fijos dados por la correspondencia de Galois.

Answer 1

En realidad, esto es bastante sencillo en el caso de que conozcas un elemento primitivo para tu extensión de Galois.

Si $H$ es el subgrupo y $\alpha$ es el elemento primitivo, simplemente toma el campo $E$ generado por los coeficientes del siguiente polinomio $$f(x) = \prod_{\sigma \in H} (x - \sigma(\alpha))$$ Entonces $L^H = E$ .

Por construcción, los coeficientes son todos invariantes bajo $H$ , $E\subseteq L^H$ . Por otro lado, $\alpha$ es una raíz de $f(x) \in E[x]$ que tiene grado $|H|$ y así $[L:E] \leq |H|$ . Comparando la contención con este grado, sólo podemos tener $E=L^H$ (si la contención fuera adecuada, el grado $[L:E]$ sería estrictamente mayor que $[L:L^H] = |H|$ , contradicción).

En los casos que tienes, a veces no son necesarios todos los coeficientes, ya que por ejemplo el 2º coeficiente de este polinomio para tu primer subgrupo es exactamente el elemento que ya has nombrado (con un signo menos). En general estas "coincidencias" no se darán.

Si lo intentamos para su subgrupo $H= \{1,13\}$ obtenemos $$f(x) = (x-\zeta)(x-\zeta^{13}) = x^2 - (\zeta + \zeta^{13})x + \zeta\zeta^{13}$$ Así que los generadores sobre $K$ para el campo fijo sería $\zeta + \zeta^{13}$ y $\zeta^{14}$ . Como has observado, el primero es realmente cero, por lo que el único generador que necesitas es $\zeta^{14}$ (que podemos ver fácilmente que está fijado por $H$ y tiene el grado correcto, ya que es una primitiva $12$ raíz de la unidad).