Transformación lineal única que lleva de hiperplano proyectivo a hiperplano proyectivo y de punto a punto - una demostración concisa

Question

Dejemos que $\mathbb P^n$ denotan el proyectivo $n$ -sobre un campo algebraico cercano $k$ es decir $\mathbb P^n$ viene dada por $(\mathbb A^{n+1}\setminus \{0\})/ \sim$ donde $\mathbb A^{n+1}$ es el afín $(n+1)$ -espacio y $\sim$ es la relación de equivalencia que identifica los puntos que son múltiplos escalares entre sí, es decir, para dos puntos $(a_0, \cdots , a_n)$ y $(b_0, \cdots , b_n)$ en $\mathbb A^{n+1}$ , $$(a_0, \cdots , a_n) \sim (b_0, \cdots , b_n) \iff \exists \hspace{1mm} \lambda \in k^\times \text{ s.t. } b_j = \lambda a_j \text{ for all }1 \leq j \leq n$$ Por un hiperplano en $\mathbb P^n$ me referiré al conjunto cero de algún polinomio lineal homogéneo $f \in k[x_0, \cdots , x_n]$ , es decir, algún polinomio de la forma $f(x_0, \cdots , x_n) := \sum_{j=0}^n a_j x_j$ donde $(a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb P^n$ .

He visto utilizar el siguiente resultado en algunos contextos antes, y aunque puedo ver intuitivamente por qué debe ser cierto, no he podido encontrar un argumento riguroso que lo justifique:

Hecho(?) Dejemos que $H$ sea un hiperplano y $P$ cualquier punto de $\mathbb P^n \setminus H$ . Entonces existe una transformación lineal $A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ tal que $A(H)$ es el hiperplano $\{(x_0, \cdots , x_n) : x_0=0\}$ y $A(P) = (1, 0, \cdots , 0)$ .

Estoy buscando una prueba completa y concisa de este resultado, que sea limpia si es posible. Creo que un posible argumento podría basarse en las siguientes observaciones:

1. $H$ está determinada de forma única por cualquier $n$ puntos en él. Así que ahora elegimos $n+1$ puntos $P_1, \cdots , P_n$ en $H$ .
2. Existe una transformación lineal que envía $P$ a $(1, 0, \cdots, 0)$ y $P_j$ a $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots, 0) \in \mathbb P^n$ ( $0$ en el $j$ -ésima ranura, aquí el $n+1$ Las franjas horarias se denominan $0$ -a, $1$ -st, ..., $n$ -a las ranuras) para cada $1 \leq j \leq n$ .

Sin embargo, he sido incapaz de hacerlos de forma limpia y rigurosa (me sigo liando con demasiadas ecuaciones lineales) y estoy empezando a dudar de la exactitud de mi intuición. Agradecería mucho una argumentación completa del "Hecho(?)" anterior o una referencia que contenga lo mismo y si es posible, sugerencias sobre cómo hacer que mi idea funcione.

Editar (algunos progresos): Gracias al comentario de Roland, creo que he hecho algunos progresos:

Dejemos que $H$ venga dada por la ecuación $\sum_{j=0}^n a_j x_j = 0$ . Entonces en $\mathbb A^{n+1}$ , $H$ sigue siendo el mismo (sin embargo lo llamaré $H_0$ cuando se ve como un subconjunto de $\mathbb A^{n+1}$ ) mientras que $P := (p_0, \cdots , p_n)$ se convierte en la línea $L_0 := \{(p_0 t, \cdots , p_n t) : t \in k\}$ . Primero debería mostrar que hay una matriz $A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ tal que $A(H_0) = H_1$ y $A(L_0)=L_1$ , donde $H_1 := \{(0, x_1, \cdots , x_n) : x_j \in k\} \subset \mathbb A^{n+1}$ y $L_1$ es la línea $\{(t, 0, \cdots , 0) : t \in k\} \subset A^{n+1}$ .

Así que ahora puedo elegir $n$ puntos linealmente independientes $A_j \in H_0$ ( $1 \leq j \leq n$ ), lo cual es posible ya que $H_0$ es un $n$ -subespacio dimensional de $\mathbb A^{n+1}$ y obtengo una transformación lineal $A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ que envía $A_j$ a $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots 0)$ (con $1$ en el $j$ -ésima ranura) para cada $1 \leq j \leq n$ . Así, $A$ envía $H_0$ a $H_1$ . Todavía tengo que enviar $A(L_0)$ a $L_1$ por lo que necesito una transformación lineal $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ que envía $A(L_0)$ (que también es una línea que pasa por el origen) a $L_1$ y hojas $H_1$ invariante (como conjunto).

Por último, dejamos que $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ sea la transformación lineal que envía $(p_0, \cdots , p_n) \in \mathbb A^{n+1}$ a $(1, 0, \cdots , 0)$ y fija alguna base de $H_1$ en el sentido de la palabra.

Al obtener esta última transformación lineal $T$ observamos que $TA \in \text{GL}_{n+1}(k)$ envía $H_0$ a $H_1$ y $L_0$ a $L_1$ en $\mathbb A^{n+1}$ . Por lo tanto, $TA$ también debe hacer el trabajo requerido, es decir, enviar $H$ a $\{(0, x_1, \cdots , x_n)\} \subset \mathbb P^n$ y $P$ a $(1, 0, \cdots 0)$ completando así la prueba y haciendo que "Fact(?)"$ sea un hecho.

Mi única pregunta de seguimiento: ¿Es correcto este argumento o hay alguna laguna?

Answer 1

Una pequeña nota: $GL_{n+1}(k)$ actúa de forma diferente para los sistemas lineales que para los puntuales. Si $H$ es un hiperplano con ecuación $a^T \times x=0$ entonces la ecuación de $AH$ es $(aA^{-1})^T \times x=0$ .

Ahora, su problema es el siguiente: dados vectores no nulos $a$ (fila) y $x$ (columna) con $ax \neq 0$ encontrar una matriz invertible $A$ tal que $aA^{-1}=(1,0,\ldots,0)$ , $Ax=(r,0,\ldots,0)$ con $r \neq 0$ .

Encontrar una base $(a_2,\ldots,a_{n+1})$ de la $n$ -espacio dimensional de los vectores fila ortogonales a $x$ . Toma $A_1$ la matriz cuyas filas son $(a,a_2,\ldots,a_{n+1})$ . Entonces, por definición $aA_1^{-1}=(1,0,\ldots,0)$ y $x_1=A_1x$ tiene cero entradas en los índices $2 \leq i \leq n+1$ y es distinto de cero. Así que hemos terminado.