Por un variedad sobre un campo $k$ me refiero a un esquema separado y de tipo finito sobre $k$ . Indico los cambios del anillo base mediante subíndices.
¿Existe una variedad suave y proyectiva $V$ sobre algún campo $k$ con $V(k)\neq\emptyset$ Es decir geométricamente uniracional es decir, existe un mapa racional dominante $$\mathbf{P}^n_{\overline{k}} \dashrightarrow V_{\overline{k}}$$ para algún número entero $n$ pero no uniracional, es decir, no hay no existe un mapa racional dominante $$\mathbf{P}^n_k \dashrightarrow V$$ para cualquier número entero $n$ .
No recuerdo haber encontrado nunca un ejemplo de $V$ como en la pregunta. Es un hecho clásico que cualquier $V$ tiene que tener una dimensión de al menos $2$ . Además, creo que habría sabido si existían ejemplos en los que la dimensión de $V$ es $2$ . Por otro lado, mientras que la condición $V(k)\neq\emptyset$ es ciertamente necesario para evitar que la pregunta tenga una respuesta trivial en positiva (por ejemplo, que $V$ sea una superficie cúbica lisa en $\mathbf{P}^3_k$ que no tiene un $k$ -punto), me parece demasiado antinatural para ser suficiente para una respuesta negativa a la pregunta en general.
NB. Me doy cuenta de que algunas personas (incluido yo mismo a veces) utilizan el término "(uni)racional" para el concepto al que me refiero como "geométricamente (uni)racional". Sin embargo, al comparar las dos propiedades, de alguna manera prefiero hablar de "geométricamente uniracional vs. uniracional" a "uniracional vs. uniracional sobre el campo de tierra".
Algunas ediciones realizadas para reflejar los comentarios de Jason Starr y ayanta; véase más abajo.
