Grupo fundamental de un conjunto finito con topología discreta

Question

Sea S un conjunto finito con digamos n elementos. Demos la topología discreta, Ahora, ¿qué podemos decir acerca de su grupo fundamental? ¿Al menos podemos determinar el grupo fundamental de un conjunto con dos elementos? Gracias

Answer 1

Un espacio de este tipo no está conectado por un camino, por lo que hay que tener en cuenta el punto base. Cada componente conectada por un camino es trivialmente contractible (sólo consta de un punto). El grupo fundamental es trivial para cada componente. No se necesita la finitud de $S$ .

Answer 2

Hay que elegir un punto base tanto en $S^1$ y $S$ . Desde $S^1$ está conectado, debe ser mapeado a este punto base por completo. Por lo tanto, sólo hay un bucle que preserva el punto base en $S$ y, por tanto, el grupo fundamental es trivial. Esto se aplica a cualquier conjunto con la topología discreta, sin importar si es finito o no.