Intuición de determinantes en espacios vectoriales abstractos sobre campos arbitrarios

Question

Me preguntaba si había una forma intuitiva de pensar en los determinantes de las matrices que representan transformaciones lineales en espacios vectoriales abstractos sobre campos arbitrarios.

Hay muchos posts sobre la intuición del determinante de los espacios de n-tuplas sobre el campo de los números reales donde se representa cómo cambia el volumen de la forma trazada por los vectores base y sobre cómo el determinante es negativo si dos vectores base se "voltean". Hay mucho sobre esto aquí: ¿Cuál es una forma intuitiva de pensar en el determinante?

Sin embargo, me pregunto cómo se generaliza la idea de un determinante a espacios vectoriales más abstractos sobre campos arbitrarios. ¿Significa realmente algo de forma intuitiva o simplemente se convierte en un cálculo? Supongo que un determinante mayor significa simplemente que los vectores base se transforman para llevar más "magnitud" de algún tipo. Y lo que es más importante, ¿qué significaría tener un determinante negativo en este contexto, es decir, que los vectores base de un espacio más abstracto como el de los polinomios se "volteen" como lo harían en el caso de los vectores clásicos de n-tuplas?

¿Cuál es la mejor mentalidad para abordar este tema mientras lo aprendo?

Answer 1

No sé si ésta es la respuesta que buscas, pero el término "intuición" es muy oscuro e indefinido, así que lo intentaré de todos modos. Me gusta pensar en el determinante como un invariante de matrices. Con esto quiero decir que el determinante nos da una especie de esquema de clasificación de las matrices. Probablemente sepas que dos matrices $A,B$ se llaman similar si existe una matriz no singular $P$ tal que

$$A=PBP^{-1}$$

En este caso, se obtiene como consecuencia que también $\det A=\det B$ . En otras palabras, $\det A$ es invariable bajo transformaciones de similitud $A\mapsto PAP^{-1}$ .

Esto se parece mucho al género de las superficies: un esquema de clasificación topológica que clasifica las superficies contando "agujeros". Este tipo de pensamiento podría ser demasiado abstracto, pero no estoy seguro de que en general se pueda obtener una intuición geométrica como "una medida de volumen" como se puede obtener en $\mathbb{R}^{n}$ . Sin embargo, creo que este tipo de punto de vista es muy importante. Aparece una y otra vez en todas las matemáticas y la física.