Mapa cociente del complejo proyectivo $n$ - el espacio es suave y suryente

Question

Ya he demostrado que $\mathbb{CP^1}$ es difeomorfo a $\mathbb{S^2}$ , sólo tengo problemas para demostrar que $\pi\colon \mathbb{C}^{n+1}\backslash \{0\} \to \mathbb{CP}^n$ es suave y sobreyectiva. ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Es claramente sobreyectiva. Dado $[x] \in \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ tenemos $\pi(x) = [x]$ .

Establecer $U_i = \{[x_0,\ldots,x_n] : x_i \neq 0\}$ .

Definir el mapa $\phi : U_i \rightarrow \mathbb{C}^n$ por $[x_0,\ldots,x_n] \mapsto (\frac{x_0}{x_i},\frac{x_1}{x_i},\ldots,\frac{x_{i - 1}}{x_i},\frac{x_{i + 1}}{x_i},\ldots,\frac{x_n}{x_i})$

Definir $\psi_i : \mathbb{C}^n \rightarrow U_i$ por $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto [x_0,\ldots,x_{i - 1},1,x_{i + 1},\ldots, x_n]$ .

Es evidente que $\phi_i$ y $\psi_i$ son inversos entre sí.

Por último, calcule las funciones de transición, que se ve fácilmente que son analíticas.

$\phi_j \circ \circ \phi_i^{-1}((x_0,\ldots,x_n)$ se calcula como:

$(x_0,\ldots,x_n) \mapsto [x_0,\ldots,x_{i - 1}, 1 , x_{i + 1},\ldots ,x_n] \mapsto (\frac{x_0}{x_j},\ldots,\frac{x_{i - 1}}{x_j},\frac{1}{x_j} , \ldots, \frac{x_x}{x_j})$

Está claro que esto es analítico.