Ordenación de extensiones algebraicas sobre $\mathbb{Q}$

Question

Esta cuestión está estrechamente relacionada con la pregunta formulada y respondida aquí . Podemos definir dos órdenes diferentes en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ .

1. ¿Podemos demostrar que en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ sólo hay dos órdenes.
2. ¿Podemos demostrar que cualquier extensión algebraica finita de $\mathbb{Q}$ ¿tiene más de una ordenación? ( ACTUALIZACIÓN: He perdido el caso por $\mathbb{Q}(\imath)$ . Lo que tengo en mente son los casos que no contienen $\imath$ como elemento del campo ampliado. Por ejemplo, lo que ocurre con $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ .)

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Sólo hay dos ordenaciones en $\Bbb Q(\sqrt 2)$ . Cualquier campo ordenado contable puede ser incrustado en $\Bbb R$ de una manera que preserva el orden por lo que corresponden a incrustaciones que toman $\sqrt2$ a $\sqrt2$ y $\sqrt2$ a $-\sqrt2$ .

$\Bbb Q(i)$ no puede convertirse en un campo ordenado.

En general, si $K=\Bbb Q(\alpha)$ es un campo numérico, con $\alpha$ que tiene un polinomio mínimo $f$ los ordenamientos de $K$ corresponden a a los ceros reales de $f$ .

Answer 2

1. Sí. Cualquier pedido de $\Bbb Q[\sqrt 2]$ da lugar a una incrustación en $\Bbb R$ y sólo hay dos si estos. Concretamente, si $a+b\sqrt 2$ es positivo puede determinarse a partir de si $\sqrt 2$ es positivo.

2. No. $\Bbb Q[i]$ no tiene ninguna ordenación.