Encontrando la ecuación indicial

Question

Se me da una ecuación diferencial:

$$xy'' - 4y' + 5xy = 0$$

Me dicen que esta tiene un punto singular en $x=0$.

Calculé:

\begin{align*}xp(x) &= -4\\ x^2q(x) &= 5x^2 \end{align*}

A partir de esto, deduje que $x=0$ es un punto singular regular.

Pero a partir de aquí, tengo dificultades para encontrar la ecuación indicial en términos de "$r$".

Agradezco cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Aquí la ecuación es $xy'' - 4y' + 5xy = 0$ . . . . $(1)$

$x=0$ es un punto singular regular de la ecuación $(1)$.

Entonces la ecuación $(1)$ admite una serie de Frobenius de la forma $$y(x)=x^r \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \qquad . . . . . (2)$$ donde $a_0\neq 0$ y la serie converge para todo $x$.

De $(2)$, $$y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1} \qquad ; \qquad y''(x)= \sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2} \qquad . . . . . (3)$$

Sustituyendo $(2)$ y $(3)$ en $(1)$ tenemos

$$x\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)a_n x^{n+r-2}-4\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)a_n x^{n+r-1}+5x\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}=0$$ or, $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n (n+r) (n+r-5) x^{n+r-1}+5\sum_{n=0}^{\infty}a_n (n+r) x^{n+r+1}=0 \qquad . . . . . (4)$$

El menor exponente de $x$ en la ecuación $(4)$ es $(r-1)$.

El coeficiente de $x^{r-1}$ da la ecuación indicial $$ a_0r(r-5)=0\implies r^2-5r=0$$ ya que $a_0 \neq 0$.

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Ecuación indicial: Si $x=\alpha$ es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada $$u''+P(x)u'+Q(x)u=0$$ entonces la ecuación indicial es $$r(r-1)+p_0r+q_0=0$$ donde

$$p_0=\lim_{x\to \alpha }(x-\alpha)P(x)$$

$$q_0=\lim_{x\to \alpha} (x-\alpha)^2Q(x)$$

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${}$ Por esta regla también encontramos la ecuación indicial de la siguiente manera:

Aquí $P(x)=-\frac{4}{x}$ y $Q(x)=5$

Entonces $p_0=-4$ y $q_0=0$ y por lo tanto la ecuación indicial es $r(r-1)+p_0r+q_0=0\implies r(r-1)-4r+0=0\implies r^2-5r=0$ ${}$

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Considerar la ecuación diferencial lineal general homogénea de segundo orden $$u''+P(x)u'+Q(x)u=0$$ donde $x \in D \subseteq \mathbb{C}$.

Se dice que el punto $x_0 \in D$ es un punto ordinario de la ecuación diferencial dada anteriormente si $P(x)$ y $Q(x)$ son analíticas en $x_0$.

Si o bien $P(x)$ o $Q(x)$ no son analíticas en $x_0$, el punto $x_0$ se llama un punto singular de la ecuación diferencial dada.

Un punto singular $x_0$ de la ecuación diferencial dada se dice que es un punto singular regular si la función $(x-x_0)P(x)$ y $(x-x_0)^2 Q(x)$

Answer 2

No sé si te enseñan a estudiar este tipo específico de ecuación diferencial con coeficientes polinomiales "desde cero" o si aprovechas algunos resultados ya utilizables.

De hecho, esta ecuación diferencial se puede convertir en una forma con soluciones genéricas usando combinaciones de funciones de Bessel (veo que eres consciente de eso porque has usado esta etiqueta).

Para eso, multiplica el LHS de tu ecuación diferencial por la variable $x$, luego utiliza las fórmulas (3) y (4) de esta referencia, dando la siguiente solución general:

$$y=x^{5/2}\left[C_1 J_{5/2}(\sqrt{5} x)+C_2 Y_{5/2}(\sqrt{5} x)\right]$$

(valores de parámetros $p=-\dfrac52, q=\dfrac52, a=\sqrt{5}, r=1$ en la expresión (4)), $C_1, C_2$ siendo constantes dadas por condiciones iniciales/límites.