$N$ un subgrupo normal de $G$ con $|G|$ impar y $|N|=5$ satisface $N \subset Z(G)$

Question

Ejercicio

Dejemos que $N$ sea un subgrupo normal de $G$ . Supongamos que $|N|=5$ y que $|G|$ es impar. Demuestra que $N \subset Z(G)$ .

Siento no haber escrito ningún trabajo mío pero realmente no sé por dónde empezar. Agradecería cualquier pista que me ayude a tener una idea de qué hacer.

Answer 1

En general, si $N$ es un subgrupo normal de $G$ entonces existe un homomorfismo inyectivo $G/C_G(N) \hookrightarrow \text{Aut}(N)$ (aquí $C_G(N)=\{g\in G : gn=ng \text{ for all } n \in N\}$ el centralizador de $N$ en $G$ ). Esto se puede ver por la acción de conjugación de $G$ en $N$ . Ya que en este caso $N\cong C_5$ , $\text{Aut}(N)\cong C_4$ y $|G|$ es impar, se deduce que $G=C_G(N)$ Es decir $N \subseteq Z(G)$ .
La afirmación puede generalizarse a $|N|$ siendo un Número primo de Fermat (de la forma $2^{2^{n}}+1$ ).

Answer 2

$G$ actúa sobre $N$ por conjugación, permutando así los elementos no identitarios de $N$ . Esa acción define un homomorfismo $$\rho:G\to S_4.$$ Desde $G$ es tiene orden de impar, $\rho$ envía $G$ a uno de los subgrupos cíclicos $C_3$ en $S_4$ . De ello se desprende que $G$ fija un elemento no identitario de $N$ . Dado que cualquier elemento no identitario de $N$ es un generador, $G$ fija todos los elementos de $N$ .