Demostrar que $X_n \to X$ en $L^{2r}$ y $Y_n \to Y$ en $L^{2r}$ entonces $X_nY_n \to XY$ en $L^r$

Question

Mi pregunta se refiere a la siguiente afirmación:

Supongamos que $X, Y \in L^{2r}$ y $X_n \to X$ y $Y_n \to Y$ en $L^{2r}$ . Demostrar que $X_nY_n \to XY$ en $L^{r}$ .

insinuación: $(a+b)^r \leqslant 2^{r-1}(a^r+b^r).$

He conseguido llegar hasta aquí:

$$E(|X_nY_n - XY|^r) = E(|X_n(Y_n - Y) + Y(X_n-X)|^r)$$

que es menor igual que (desigualdad del triángulo + pista)

$2^{r-1} \left( E|X_n(Y_n-Y)|^r + E|Y(X_n-X)|^r\right)$

pero estoy atascado en este punto. ¿Alguien puede darme una pista?

Answer 1

Creo que casi lo has conseguido. Usando la desigualdad de Cauchy podemos obtener $$E(|Y(X_n-X)|^r)\leq E(|Y|^{2r})^{1/2}E(|X_n-X|^{2r})^{1/2}\rightarrow 0\ as \ n\rightarrow\infty.$$ En cuanto al término anterior, primero se utiliza la desigualdad de Cauchy y luego se observa que $E|X_n|^{2r}\rightarrow E|X|^{2r}$ .

Anexo : $X_n\rightarrow X$ en $L^p$ implica que $E|X_n|^{p}\rightarrow E|X|^{p}$ . En realidad, la desigualdad de Minkowski implica que $$(E|X|^p)^{1/p}=(E|(X-X_n)+X_n|^p)^{1/p}\leq (E|X-X_n|^p)^{1/p}+(E|X_n|^p)^{1/p}$$ y entonces podemos concluir que $(E|X|^p)^{1/p} \leq \liminf_{n\rightarrow\infty}(E|X_n|^p)^{1/p}$ así $E|X|^p \leq \liminf_{n\rightarrow\infty}E|X_n|^p$ . La otra dirección se puede mostrar de la misma manera.