calcular el límite de una función racional

Question

Supongamos que tengo una función racional definida por ( $s$ complejo) $$ f(s)=w^T s(sI-Q)^{-1} v $$ para vectores columna no nulos $w,v$ y una matriz cuadrada (grande) $Q$ . Supongamos además que $Q$ es singular y se sabe que $f(0)=\lim_{s\rightarrow 0} f(s)$ existe finito. Claramente, para cualquier $s$ que no es un valor propio de $Q$ se puede calcular $f(s)$ por $$ f(s)=s \cdot w^T y \text{ where $ y $ is the unique solution of } (sI-Q)y=v $$ que es bastante eficiente y numéricamente estable.

Pregunta ¿existe una forma similar de calcular $f(0)$ ¿es decir (idealmente) resolviendo un único sistema lineal?

[ Contexto . En mi problema, $f(s)$ surge como $sF(s)$ , donde $F(s)$ es la transformada de Laplace de una determinada función (exponencial) $g(t)$ . El resultado es necesario como método para calcular $f(0)=\lim_{t\rightarrow \infty} g(t)$ que es el teorema del valor final de la transformada de Laplace].

Answer 1

Sorprendentemente, el álgebra lineal es notablemente inestable en este sentido. He aquí un ejemplo que apareció recientemente en mi investigación. (No es exactamente como tu función, pero se acerca mucho: puedes hacer fácilmente un cambio de variables adecuado).

Dejemos que $\Theta$ sea la suma directa de dos copias de $$ \begin{bmatrix}0&b+1\\b&c\end{bmatrix}, $$ y que $\kappa:=[2b+1,c]^t\oplus[0,1]^t$ (para algunos enteros $b\ne0,-1$ y $c\ne0$ ). Considere $H(s):=(1-s)(\Theta-s^{-1}\Theta^*)$ . Entonces la función $f(s):=\langle H(s)^{-1}\kappa,\kappa\rangle$ es idéntico $0$ siempre que se defina (y, por tanto, todos los límites son $0$ ), mientras que $\kappa$ no es a imagen y semejanza de $H(s)$ para $s=(1+1/b)^{\pm1}$ por lo que estos valores (que también deberían ser $0$ ) no se puede "calcular directamente".

Answer 2

Consideremos la forma canónica de Jordan $Q = U J U^{-1}$ para $Q$ . Así, $w^T Q w = \sum_B w_B^T B v_B$ para los bloques de Jordania $B$ , donde $w_B$ y $v_B$ son las entradas de $U^T w$ y $U^{-1} v$ correspondiente al bloque. Para un bloque Jordan $B$ de tamaño $m$ correspondiente al valor propio $0$ , $s (sI - B)^{-1}$ es triangular superior con $1$ en la diagonal principal y $1/s^j$ en el $j$ La diagonal por encima de ella. Si se sabe (por ejemplo $w$ y $v$ ) que existe un límite finito, todos los términos en $1/s^j$ en $w_B^T s (sI-B)^{-1} v_B$ debe anularse, dejando el mismo resultado que tendría para $B = 0$ . Por otro lado, para un bloque de Jordan correspondiente a un valor propio no nulo, el límite es $0$ . Por lo tanto, si $P$ es la proyección sobre el eigespacio generalizado para el valor propio $0$ el límite, si existe, es $w^T P v$ .

$P$ se puede obtener como un polinomio $g(A)$ donde si el mayor bloque de Jordan para el valor propio $0$ tiene tamaño $m_0$ , $g(0) = 1$ y $g^{(j)}(0) = 0$ para $j < m_0$ mientras que para cualquier otro valor propio $\lambda$ con el mayor bloque jordano de tamaño $m_\lambda$ , $g(\lambda) = \ldots = g^{(m_\lambda-1)}(\lambda) = 0$ .

Por supuesto, esto no puede ser numéricamente estable: los valores propios que son exactamente $0$ y los que están cerca de $0$ producirán resultados muy diferentes.