Encontrando ceros de un polinomio con parámetro

Question

La descripción del problema dice que para la función:

$$ f(x) = mx^2 + x + m - 1 $$

Hay dos raíces diferentes de las cuales ambas son menores que 1. Se me ha asignado la tarea de encontrar todos los valores de m que cumplan con este requisito.

El primer paso fue ver que la función es lineal si el parámetro m es 0, por lo que el primer valor de m que cumple con el requisito es el número 0. Entonces:

$$ b^2 - 4ac = 1 - 4m * (m-1)$$ $$ b^2 - 4ac = -4m^2 + 4m + 1$$

Luego calculando $$ b^2 - 4ac $$ con respecto a lo anterior, así:

$$ 16 - 4 * (-4) * 1 = 0 $$ $$ m_0 = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} $$

Entonces, mi resultado final es:

$$ m \in (0, \frac{1}{2} ) $$

Pero la hoja de respuestas dice que la respuesta real es:

$$ m \in (0, \frac{1 + \sqrt2}{2} ) $$

Entonces, ¿qué hice mal aquí?

Answer 1

Parece que estás siguiendo algún algoritmo que solía resolver un problema similar, pero no tiene mucho sentido en este problema

La función debe tener

1. Dos raíces (no una, no cero)

$ax^2+bx+c$ tiene dos raíces solo cuando $a\neq0$ (una función lineal tiene solo una raíz) y el $D>0$.

2. Cada raíz debe ser menor que 1.

Dado que es fácil decir cuál raíz es la más grande, podemos comprobar que solo la raíz más grande es menor que 1.

Cada una de esas condiciones nos dará conjuntos de valores posibles de $m$. Debemos tomar la intersección de esos conjuntos, ya que necesitamos que esas condiciones sean verdaderas al mismo tiempo.

¿Puedes deducir el resto?

Answer 2

Deje que $$f(x)=mx^2+x+m-1.$$ $f(x)=0$ tendrá raíces reales si $$ B^2\ge 4AC \Rightarrow 4m^2-4m-1 \le 0 \Rightarrow \frac{1-\sqrt{2}}{2} \le m \le \frac{1+\sqrt{2}}{2} ----(1),$$ y si $$-B/2A <1 \Rightarrow \frac{-1}{2m}<1 \Rightarrow m(2m+1)>0 \Rightarrow m>0~ {\mbox or}~ m<-1/2-----(2),$$ y si $$f(1)>0 \Rightarrow 2m>0......(3)$$ La superposición de (1,2,3) da $$ m \in (0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}),$$ para dos raíces reales distintas <1.

Answer 3

El método que intentaste para resolver el problema no está claro para mí, así que no puedo decir qué estás haciendo mal. Pero para resolver el problema, te sugiero usar las fórmulas de Viète.

La condición "dos raíces diferentes, ambas menores que 1" se puede expresar mediante condiciones. $$ \Delta > 0 \\ (x_1-1) + (x_2-1) < 0 \\ (x_1-1)\cdot (x_2-1) > 0$$ es decir $$ \Delta > 0 \\ x_1+x_2-2 < 0 \\ x_1x_2 - (x_1+x_2) +1 > 0$$ Tienes $\Delta= b^2-4ac=-4m^2+4m+1$ y las fórmulas de Viète dan $x_1+x_2 = \frac{b}{a} = \frac{1}{m}$ y $x_1x_2 = \frac{c}{a}=\frac{m-1}{m}$. Por lo tanto, necesitas resolver el conjunto de ecuaciones: $$ -4m^2+4m+1 > 0 \\ \frac{1}{m}-2 < 0 \\ \frac{m-1}{m} - \frac{1}{m} +1 > 0$$