¿un número real con esta expansión decimal para $r$ y $r^2$ ¿Existe?

Question

¿Existe un número real $0< x <1$ , tal que las expansiones decimales de $x$ y $x^2$ son iguales, a partir del millonésimo término, y ninguna de las dos expansiones tiene una cola infinita de ceros?

Estaba pensando $x=0.\overline{999}$ pero, ¿funciona eso? ¿No es simplemente igual a 1, lo cual no está permitido? Si esto funciona, ¿cómo podría probarlo?

Answer 1

Podemos inventar un ejemplo con bastante facilidad. Supongamos que queremos la diferencia entre $x$ y $x^2$ sea 0,1: $$x-x^2=0.1$$ donde la orden $x-x^2$ es un mandato de $0<x<1$ Así que $x^2<x$ . Resolviendo esto, obtenemos dos valores admisibles $x=\frac{1\pm\sqrt{0.6}}2$ .

Así, (tomando $x=\frac{1+\sqrt{0.6}}2$ ) tenemos $$x=0.88729833\dots$$ $$x^2=0.78729833\dots$$ por lo que sus expansiones decimales coinciden después del primer lugar y, de hecho, después del millonésimo lugar.

Cualquier número $0<k<0.25$ con una expansión decimal terminal tal que $\sqrt{1-4k}$ no termina puede utilizarse en lugar del 0,1 en $x-x^2=0.1$ .