Determine F(3) y F(1/ $\lambda$ ) de una función de frecuencia

Question

Tengo este problema:

La duración de la vida $\xi$ en un átomo radiactivo tiene la función de frecuencia:

$$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x>0\\ 0&x < 0\end{cases}$$

Determinar $F(3)$ y $F(1/\lambda)$

No sé cómo hacer esto. Parece que crea una integral que va de 0 a infinito pero me he quedado atascado ahí.

La respuesta es F(3) = $1-e^{-3\lambda}$ y F( $1/\lambda$ ) = 0.63

Answer 1

Tenga en cuenta que en este caso $$ F(x)=P(X\leq x)=\int_{0}^x f(t) \,dt. $$ En particular $$ F(3)=\int_{0}^3\lambda e^{-\lambda x}\, dx. $$ Esperemos que puedas calcular esta integral.

Answer 2

Supongo que en lo anterior está utilizando el término función de frecuencia para describir un función de densidad de probabilidad y que $F$ es el asociado función de distribución acumulativa .

En este caso

\begin{align*} F(x) & =\mathbf{P}[ \xi \leq x] \\ & = \int_{0}^x \lambda e^{-\lambda y} dy \\ & = \lambda \left[ -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda y} \right]_{0}^x \\ & = 1 - e^{-\lambda x}. \end{align*}

Por lo tanto, tenemos

$$F(3) = 1 - e^{-3 \lambda}$$ mientras que $$F(1/\lambda) = 1 - e^{-1} \approx 0.63$$

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Calcular la antiderivada de $e^{\alpha x}$

En lo anterior, asumí la fórmula integral indefinida

$$ \int e^{\alpha y} d y = \frac1\alpha e^{\alpha y},$$

en general $\alpha \in \mathbf{R}$ . Probablemente la forma más fácil de justificar esto es argumentar que la integración es lo "opuesto" a la diferenciación. Si te conformas con la fórmula que $$ \frac{d}{dx} e^{\alpha x} = \alpha e^{\alpha x}$$ entonces (muy informalmente) $$ \int \alpha e^{\alpha x} = \int \frac{d}{dx} e^{\alpha x} = C + e^{\alpha x},$$ justificando la fórmula de la integral indefinida. Para que este argumento sea formal habría que utilizar el Teorema fundamental del cálculo .