El grupo libre no contiene elementos notriviales de orden finito

Question

Un grupo libre no contiene elementos notriviales de orden finito

Esta afirmación parece obvia y trivial, pero no se me ocurre una buena prueba, aparte de ir y ensuciarme las manos con elementos del grupo. ¿Existe una buena prueba de este hecho?

Answer 1

Supongamos que $F$ es el grupo libre sobre un conjunto $X$ y $a \in F$ tiene un orden finito $e$ . Desde $F(X)$ es el colímite dirigido del $F(Y)$ con $Y \subseteq X$ con $Y$ finito, podemos suponer también que $X$ es finito. Como cada elemento se conjuga con una palabra reducida cíclicamente, podemos suponer que $a=x_{k_1}^{e_1} \dotsc x_{k_n}^{e_n}$ se reduce cíclicamente con $e_i \neq 0$ en particular $x_{k_1} \neq x_{k_n}$ . Entonces $a^e=x_{k_1}^{e_1} \dotsc x_{k_n}^{e_n} x_{k_1}^{e_1} \dotsc x_{k_n}^{e_n} \dotsc $ se reduce de nuevo (cíclicamente). Por otro lado es trivial, por lo que su longitud debe ser $0$ . Esto muestra $a=1$ .