En la geometría 2D donde $y=f(x)$ entonces $f'(a)$ significa la pendiente de la línea tangente en ( $a$ , $f(a)$ ). Significa el ángulo formado con el positivo $X$ eje Ahora extendiendo a la geometría 3D digamos $z$ = $f(x, y)$ así que z/x en digamos ( $A$ , $B$ , $C$ ) nos da la pendiente de la recta tangente en ese punto. Pero, ¿cuál es la definición de pendiente en este caso? ¿Es el ángulo formado con el positivo $X$ eje o $Z$ eje o algo totalmente diferente?
Respuesta
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John Wayland Bales
Puntos
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Para una superficie bidimensional, se puede definir el derivada direccional .
En primer lugar, permítame darle una idea intuitiva de lo que es.
Suponga que está de pie sobre una superficie horizontal. Tus pies forman un ángulo recto con tus piernas. La inclinación de tus pies es $0$ .
Supongamos ahora que se encuentra en una superficie curva, como la ladera de una colina. Dependiendo de la dirección de la brújula hacia la que esté orientado, sus pies pueden tener una inclinación positiva (dedos hacia arriba) o negativa (dedos hacia abajo) o $0$ pendiente.
Esto es lo que se entiende por una derivada direccional en un punto de una superficie. La dirección viene dada por un vector bidimensional en lugar de un rumbo de brújula. Las derivadas parciales de la función superficie
$$ \frac{\partial}{\partial x}f(x,y),\quad\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)$$
son los componentes del vector gradiente
$$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$
y la derivada direccional en la dirección del vector unitario $\mathbf{u}$ viene dada por la fórmula
$$ D_\mathbf{u}f=\nabla f\cdot \mathbf{u} $$
A modo de ejemplo, considere $f(x,y)=x^2y-x$ y queremos encontrar la derivada direccional en el punto $(2,1)$ cuando se orienta en la dirección del vector unitario $\mathbf{u}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$$\nabla f(2,1)=\left(2xy-1,x^2\right){\huge\vert}_{(2,1)}=(3,4)$$
Así que la derivada direccional en la dirección $\mathbf{u}$ es
$$ D_\mathbf{u}f(2,1)=(3,4)\cdot\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{3+4\sqrt{3}}{2} $$
